Theorie der Euler'8chea Functionen. 



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Wurzel) bis 03 =z 1, wofiir es = 1 wird, somit ist E4„+3 ^ 1 fur 

 a^i ^ 03 ^ 1, folglich E'4n (-3 (x -j- 2) positiv auch fiir 03 =r 03^ bis 03 =r 1 ; 

 dass es positiv ist von 03 = O bis 03 =: 03^ ist wegen Ein+3 i<^) <. O 

 aus (72) unmittelbar einzusehen. Dieselben Bemerkungen gelten fiir 

 das nulitě Feld, da E4„+3 eine gerade Function ist; hieraus folgt 

 aber, dass E^n-i-s (03 -j- 2) ^ O ist von 03 =: O bis 03 == — 1, d. li. das 

 ganze zweite Feld ist positiv. 



Wird jetzt ein O -< | 03 | <; 1 vorausgesetzt, so ergeben sich aus 

 (71) in Verbindung mit (72) nachstehende Thatsachen. 



Felder : 







1 



4r 



4r+l 



4r-[-2 



4r+3 



E4n+3 



-|- von 03 = 1 



bis XZZZX^ 



von 03 1= 03j 



bis 03 =:0 



— YonojzrO 



bis x=zx^ 



-|- von 03 z= 03j 



bis 03 =Z 1 







+ 



+ 



E4n+2 



— 



+ 





+ 



+ 





E4M-I-1 



-f 



+ 



+ 



+ 







E4» 



+ 



— 



+ 







+ 

















Dies lásst sich in dem einzigen Satze aussprechen: 



Wonn m=:ft, mod. 4, /í^O, so ist E^ in den Felder n 

 řt-(-4r — 1 undiM-f-4r, í*=:0, 1, 2, ..., sowievom zweiten 

 Felde angefangen auch an den Grenzen derselben si- 

 ch er > O , (73) 



Da DE'^ = ííjE'™_i, so nimmt E'^^ in den Feldern ^-{-ár — 2 

 und í* 4~ 4í' — 1 uberhaupt zu und speciell in den Feldern /* + 4r — 1 

 im Gebiete des Positiven. 



Ferner ist D'^E'm. = w(m — 1)E',^2 ; somit ist, wie aus obiger 

 Tabelle ersichtlich, -D^^E'^ in den nicht bezeichneteu Feldern 



řt-f 4r4-l, ^-}-4r + 2 



stets >» O, demnach nimmt DE' bestándig zu, und kann daher E'^ 

 innerhalb dieser Felder hochstens ein Minimum besitzen, welches sich, 

 da DE' in den Feldern (ji-{-4r — 1 positiv ist, notwendig in den Fel- 



Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe. 1893. . 3 



