Theoťie der Euler'schen ř'unctioneu. 35 



Ferner ist E'io(3) > O, folglich ist E\o(x) fúr alle cc^3 auch 

 ^0 und zufolge (74) ist dann 



E'(x, m)'^0 m^lO, íc^m — 10 . . . .(75") 



Die Aufsuchung der reellen Wurzeln wird durch obigen Hilfs- 

 satz wesentlich erleichtert ; erforderlich ist vor Allem die Ermittlung 

 des Vorzeichens von E'^ fiir jene Mittelwerte (i-{-4r — 1, welche 

 noch unter den durch (75), (75') und (75") gegebenen Grenzen liegen. 

 Ist E'^(ří -f ár — 1) ^ O, so existiren im ((i -|- 4r — l)ten Felde ent- 

 weder zívei oder keine reelle Wurzeln ; ist dagegen E'Jfi-\-ár — 1)<^0, 

 was von einem gewissen m angefangen, wegen des Wachsthumes der 

 Euleťschen Zalen, das grosser ist als das irgend einer geometrischen 

 ProgressiuD, stets der Fall sein wird, so besteht im (ft -f- 4r — l)ten 

 und (ft-[~4r)teu Felde je eine und nur eine reelle Wurzel. 



Das Verháltnis der Anzal der reellen Wurzeln zum Ordnungs- 

 zeiger m wird mit wachsendem m immer kleiner. 



Es hat E'2 1, E'32, E'43, E'54; hingegen E^g nur 1, E', 2 

 (zufolge 75'), E'^ 3, E'9 4, E'io hochstens 5, und alle E'™(w > 10) 

 zufolge (75") hochstens m — 9 reelle Wurzeln. 



Andererseits hat, wie bewiesen wurde 



Win mindestens 3, 



E\n+i „ 4, (n>0), 



E'4„+2 „ 1, und 



E'4„+3 „ 2 reelle Wurzeln. 



Die Berechnung der numerischen reellen Wurzelwerte mittelst 

 der Hoppe'schen Formel (69) erfordert wieder die Trennung der 

 zwei moglichen Fálle: Entweder liegt in einem Felde eine einzige 

 Wurzel, welche dann zwischen zwei aufeinander folgenden ganzen 

 Zalen /í + 4r -]- 2 und íi-\-4r-\-3 liegt, so dass die genannte For- 

 mel direct zum Ziele fúhrt, oder es liegt ein Wurzelpaar darin, 

 welcher Fall die Aufsuchung eines zwischen beiden Wurzeln liegen- 

 den Wertes erheischt. 



Zur ersteren Kathegorie gehoren insbesonders die in den ersten 

 zwei Feldern bestimmt vorkommenden Wurzeln a?i, íCa, ÍC4, deren re- 

 ciproké Werte aus (70) nach Vertauschung von E mit E' durch die 

 Substitutionen 



m = 4w, c =zl, c' = 2 

 m = 4w -[- 3, c = O, c' zz: 1 



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