Theorie der Euler'sčhen Functionen. 



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Functionen E ungerader Ordnung liessen sich in áhnlicher 



Weise nach sin 



VTtX 



entwickeln, rascher wird das Ziel jedoch durch 



einfache Diíferentiation obiger Gleichung erreicht; das Ergebnis ist 



. mx 



E(aj, 2í^ — 1) = (— If -l2(2/^ — 1) ! — 





_cc r-1 Sin -^ 



Fiir dle Grenzwerte findet sich die bekannte Formel 



(120) 



V 1 _ «^»^2n-l 



Z-J r2»» ~~ (2n — 1) ! 2^"+^ 



B. Functionen zweiter Art. 



Die Entwicklung gestaltet sich umstándlicher. Am zweckmás- 

 sigsten ist es, von der Gleichung (101) auszugehen, und hierin die 

 E mittelst der eben gefundenen Formel (120) durch Reiheu auszu- 

 driicken. Nach der Stellenvariabelen geordnet kommt 



co ^_|_i 



= 2(2n)!2](-l)"^ 



r—l, 3, b, . 



E'(w, 2w) = 

 rjt o ! \r7t 



+ 



1 /2 



5 ! \r7t 



+ ••• 



' {2n — l)\\r7C 

 — l^a?^+l 



und nach einmaliger Differenziation 



sm 



(121) 



E'(íK, 2n—l) = 



r+l 



2(2n-l)!2(-l)' 



r=l, 3, 5, . . . 



2 \ 2m— 1 



_1_ /^\ 2*^-3 I 1^ 12\ 2*^-5 

 "^ 3 ! [rjij ^ 5 ! \r7E) "T- 



+ •. 



(2n — 1) ! rjt 

 — I<cc<4-1 



COS 



rnx 



(122) 



