XXIV. M. Lerch 



póles du premiér dégré sz=:l, 2, . . . fc en restant uniformě et con- 

 tinue pour les autres valeurs, si parmi les quantités v k ont une 

 valeur entiěre. II suffit á cet effet décomposer Tintégrale en 



/■+/ 



oii o designe une quantité positive suífisammeut petite, et de rem- 

 placer, dans la premiére integrále, la fonction par son développement 

 suivant les puissances croissantes de x. 



En employant un procédé connu qui est dů á Eiemann et qui 

 a été employé par M. Hurwitz^) et nous a servi a obtenir de nou- 

 veau une formule '^j due a M. Lipschitz on trouve 



(3) P{u ; v; c ; s) z=: 



í 2sni ^ 



r{s)[e -ij 



(» .0, 



oú le chemin de Fintégration représenté par le symbole (oo, O, oo) 

 enveloppe, dans le sens positif, la moitié positive de Taxe réel, et 

 peut, par exemple, se composer du segment infini (©o . . . «) de 

 Faxe réel, du cercle autour de Torigine \x\ = co, et du segment in- 

 fini (o ... oo). II est aisé de voir que cette expression est valable 

 quel que soit s, et qu'elle doit ětre regardée comme la continuation , 

 et la vraie définition de la fonction P, lorsque la variable u a sa 

 partie réelle positive. 



Ce point établi, supposons que la quantité u puisse se mettre 

 souš la formě u =z c^w^ -\- c^w^ -]- . . . -j- CpWp, oú les w soient réels 

 et contenus entre O et 1, ce qui peut se faire ďune infinité de ma- 

 niěres lorsque p surpasse le nombre deux ; supposons ensuite que les 

 rapports de deux quelconques parmi les quantités c^ ne sont jamais 

 réels et que les quantités v„ ont été choisies de maniére que les 

 zéros des jp fonctions 



— c X 4-2v ni 



qui sont de la formě x z=z 2ni , (k — O, + 1, ± 2, . . .) soient 



») Zeitsclirift fůr Mathematik und Physik, t. 27. 

 ''') Acta mathematica, t. XI. 



