XXV. M. Lerch 





' o ' 



ou bien 



(4) q>{s)= {\—ď''')^{s). 



L'iiitégrale (3) étant valable quel que soit s la fonction (p{s) est 

 évidemment entiěre et réquation (4) que nous venons ďobtenir donne 

 une définition précise de la fonction analytique ^(s) définie par l'élé- 

 ment (1); celle-ci est évidemment uniformě et n'a ďautre singularitě 

 á distance finie que les póles du premiér dégré s rz O, — 2, — 4, 

 — 6, ... puisqu'il est aisé de voir que pour s =: O, 2, 4, 6, . . . 

 Tintégrale (3) s'évanouit de la sortě que la fonction 0(s) reste finie 

 pour ces valeurs de s. 



Pour obtenir une expression de 0{s) considérons Tintégrale 





+ 

 prise le long ďun contour composé du chemin rectiligne 



{—R-\-ei ... -f /? + ei) 



et du demi-cercle tracé dans le demi-plan positif autour du centre 

 z n O avec le rayon i?, cette quantité étant choisie de la maniěre 

 que ledit cercle ne passe par aucun des póles de la fonction souš 

 le signe somme. Suivant le théorěme de Cauchy la valeur de Tinté- 

 grale Jn sera 2ni fois la somme des résidus de la fonction intégrée 

 correspondant aux póles contenus á Tintérieur du contour de Tinté- 



gration. Ces póles étant les points zziz-±_ — -\- 2mti et les résidus 



ó 



ayant les valeurs 



±7jf ' 



nous aurons 



la somme s'étendant aux valeui's w = O, 1, 2, ... N pour le signe 

 supérieur et aux valeurs w = 1, 2, 3, . . . iV pour le signe inférieur; 

 le nombre N dépend de R et croit avec R audelá de toute limite. 

 Si alors la partie réelle de s est negative, la partie de Tintégrale 



