liber eine besondere Art von Reihen. 21 



Wiederholte Integrationen von (36) und (37) fiihren, da keine 

 imtere Integratioiisgrenze gefunden werden kann, fiir welclie die in 

 Reihenform auftretenden Integrations-Constanten summirbar wáren, 

 zu selir zusammengesetzten, wenig ubersichtlichen, daher wenig In- 

 teresse beanspruchenden Resultaten. 



5. 



Aiis (45) bis (48) lassen sich durch Bildung von Doppelreihen 

 und Veránderung der Summationsordnung noch weitere summirbare 

 Reihen ableiten. 



Werden sie náralich der Reihe nach fiir alle zulássigen -p in 

 Anspruch genommen, jede mit ( — •řž;)p+i multiplizirt und Alles so 

 addirt, dass die Šumme nach den aufeinanderfolgenden aS^^+i resp. 

 F„-j_i geordnet erscheint, so erhalten letztere als Factoren endliche 

 Reihen, welche in einfachster Weise mittels der Functionen P„ resp. 

 Qm summirt werden konnen. Rechter Hand entstehen trigonometrische 

 Reihen, welche sich mit Hilfe complexer Substitutionen aus der geo- 

 metrischen Reihe entwickeln lassen und daher eine angebbare Šumme 

 besitzen. 



So entsteht aus der ersten Gleichung 



ř>=0,2,4,... w=rp+2,254-4. ^1- I . 



1 «J 



7 {{k)P+'^ sin (p -{-l)(p ■ cos^-^^ q) , 



p=0, 2, . 



eine Doppelsumme, bei welcher die Summationsordnung umgekehrt 

 werden darf, weil die Summen aller Horizontál- und Verticalreihen 

 convergente Reihen bilden, vorausgesetzt, dass 



I ^ cos 9 I <: 1 und I A; 1 <c 2 'j 

 ist, daher nicht verschieden von 



"^^ Sn+l 



^ 2' 



W=2,4,... 



') Bedingung f. d. Convergeaz der Verticalreihen, welche Ableitungen der 

 Reihe fiir logT 11 — ^| sind. 



