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der v. Lang'schen Sclilussweise bewiesen habe, ein Vierttheil) der 

 bezüglich der Symmetrieebenen isoschematischen Flächen physikalisch 

 gleichwertig sind; so dass er also den Satz aufstellt: Ein Krystall ist 

 in krystallographischer und physikalischer Hinsicht entweder holosym- 

 metrisch oder hemisymmetrisch (oder tetartosymmetrisch) nach allen 

 Flächen eines seiner charakteristischen Flächencomplexe. 



Dabei muss die Anordnung der Halb- oder Viertelflächen so ge- 

 schehen , dass die Symmetrie bezüglich ursprünglich gleichwerthiger 

 Symmetrieebenen entweder erhalten bleibe oder auf gleiche Weise 

 gestört werde. 



Unter derselben Voraussetzung bezüglich der Erhaltung oder 

 gleichmässigen Störung der Symmetrie können in allen holo-, hemi- 

 oder tetartosymmetrischen Gruppen wieder Hemiedrien und Hemi- 

 morphien auftreten, so dass wir im Ganzen 56 Gruppen erhalten, welche 

 sich, wie folgt, unter die Krystallsysteme vertheilen: 



1 trikline, 2 monokline, 16 prismatische, wovon 12 geometrisch 

 selbstständige, 12 tetragonale, wovon 11 selbstständig, 20 hexagonale und 

 rhomboedrische, 5 tesserale. 



Gadolin 1 ) legt seiner Ableitung folgende Symmetrieelemente zu 

 Grunde : 



Cmncidenmxen sind Linien von der Eigenschaft, dass bei Drehung 



um dieselbe um einen bestimmten Winkel alle Flächen in der neuen 



Stellung mit allen Flächen der alten Stellung direct coi'ncidiren. 



360° 

 Der Quotient — — , wo <p° der Drehungswinkel, bestimmt die 



Ordnung der Symmetrieaxe. 



Parallelismus. Ein Symmetrieelement, welches die Gleichwertigkeit 

 aller einander entgegengesetzter (unter 180° gegeneinander geneigter) 

 Richtungen bedingt. 



Symmetrieebene. Je zwei mit einer Symmetrieebene tautozonale, 

 gegen dieselbe gleichgeneigte Ebenen sind gleichwerthig. 



Sphenoidalaxe. Eine Symmetrieaxe zweiter Ordnung, verbunden mit 

 einer zu ihr senkrechten, immer erst nach einer Drehung von 90° um 

 die Symmetrieaxe wirkenden Symmetrieebene. 



Die Aufsuchung aller aus obigen Symmetrieelementen möglichen, 

 mit der Rationalität der Indices vereinbarlichen Combinationen ergiebt 

 32 Gruppen, welche bezüglich der den räumlichen Elementen (Axen- 

 verhältnissen und — Winkel) in 6 Krystallsysteme zerfallen, und zwar: 



2 trikline, 3 monokline, 3 prismatische, 7 tetragonale, 12 hexa- 

 gonale und rhomboedrische und 5 tesserale. 



Sohncke 3 ) hat versucht unter der Annahme der für jeden 

 Tunkt eines als unendlich gedachten Complexes gleichen Anordnungs- 

 weise und unter Beschränkung der Gleichheit auf eine Ebene, also der 

 Gleichheit nach gleichmässig periodisch gebrochenen, ebenen Linien, 

 die in einer Ebene möglichen Anordnungsweisen zu ermitteln. 



'i Gadolin, Act. Boc. 8c. Fenni& l\ \v&«. l. 1867. 

 -') Sohncke, Crellc-Borchardt LXXVII. pag. 47. ls;73. 



