10 Gesammteitzung 



Bezüglich der Gergonne'schen Aufgabe beschränke ich nun 

 die Untersuchung auf den Fall, welcher dem Werthe n = bei 

 der soeben betrachteten einfacheren Aufgabe entspricht, im welchem 

 also die im Vorhergehenden betrachtete Kette nur vier Glieder 

 enthält, nämlich zwei geradlinige Strecken, welche mit zwei Ebe- 

 nen abwechseln. (Vergl. die spätere Fassung, welche Gergonne 

 seiner Aufgabe gegeben hat.) 



Zur Lösung der so sich ergebenden Aufgabe führt nun fol- 

 gende Betrachtungsweise. 



Es sei S ein einfach zusammenhängendes zwischen den Ebe- 

 nen zweier gegenüberliegenden Seitenflächen a'b und c'd des gege- 

 benen Würfels (Fig. 1) liegendes und diese Ebenen längs der Li- 

 nien ab' und cd' rechtwinklig treffendes Stück einer Minimalfläche, 

 welches in seinem Innern von singulären Stellen frei ist und des- 

 sen vollständige Begrenzung von den genannten beiden Linien ab' 

 und cd' und von den beiden (nicht parallelen) Diagonalen ac und 

 V d' eines anderen Paares gegenüberliegender Seitenflächen des 

 Würfels gebildet wird. Diese vier Theile der Begrenzung von S 

 mögen der Kürze wegen mit (e), (/), (</), (li) bezeichnet werden. 

 Es handelt sich darum, aus den angegebenen Eigenschaften das 

 Flächenstück S und die Gestalt der in den Ebenen a'b und c'd 

 liegenden Linien (e) und (/) analytisch zu bestimmen. 



Vermöge der angegebenen beiden Symmetriegesetze kann das 

 Flächenstück S über seine Begrenzung hinaus analytisch fortge- 

 setzt werden. An dieses Flächenstück S denke man sich zunächst 

 die symmetrische Wiederholung desselben in Bezug auf die Ebene 

 a'b, nämlich das Flächenstück 5, angefügt. Hierauf denke man 

 sich an die beiden Flächenstücke S und S lt welche längs der Li- 

 nie (e) mit einander zusammenhängen und daher in ihrer Vereini- 

 gung ein ebenfalls einfach zusammenhängendes Flächenstück »S + Ä, 

 bilden, die symmetrischen Wiederholungen der beiden Flächenstücke 

 SundS, in Beziehung auf die geradlinigen Strecken (//) und (//) , 

 angefügt, welche mit ,S* 7 und ,S', bezeichnet werden mögen. Es 

 fallen dann die Ebenen der Linien (/) 7 und (/), mit der Ebene 

 bc' und die Ebenen der Linien (e) 7 und (e), mit der Ebene ad' 

 zusammen, während gleichzeitig die vier Flächenstücke S„ S, <S\ 

 und ,S\, in ihrer Vereinigung wieder ein einfach zusammenhängen* 

 des Flächenstück bilden. Denkt man sich nun dieses Flächenstück 

 über die Linie (e) 7 +• («) 8 hinaus analytisch forlgesetzt, d. h. in 



