vom 18. Januar 1872. 9 



3. 

 Wird die Gergonne'sche Aufgabe (vergl. den im Eingange die- 

 ses Aufsatzes wiedergegebenen Wortlaut der ursprünglichen Fas- 

 sung derselben) so verstanden, dafs die gesuchte Fläche blofs un- 

 ter allen unendlich benachbarten, denselben allgemeinen Bedingun- 

 gen genügenden Flächen die kleinste sein soll, oder vielmehr so, 

 dafs überhaupt die erste Variation des Flächeninhalts der gesuch- 

 ten Fläche gleich Null sein soll, so läfst diese Aufgabe un- 

 endlich viele Lösungen zu, wie ich in der Folge zeigen 

 werde. Um indessen von vorn herein von der Art und Weise des 

 Auftretens von unendlich vielen Lösungen in einem solchen Falle 

 eine deutliche Vorstellung zu gewinnen, kann man die Aufgabe 

 dadurch etwas vereinfachen, dafs man an die Stelle des Würfels 

 in der Gergonne'schen Aufgabe einen geraden Kreiscylinder treten 

 läfst, dessen Oberfläche und dessen Inneres in Bezug auf ein 

 rechtwinkliges Coordinatensystem durch die Bedingungen 



+ y 2 -R'> 



(?) 



gegeben sein möge. Den beiden Diagonalen der Gergonne'schen 

 Aufgabe mögen die Geraden 



7T TT 



4 4 



entsprechen. Dann genügen die im Innern dieses Cylinders liegen- 

 den Stücke der durch die Gleichungen 



tg (271 + 1) Z = ( — l) n . V- , tg (271 -+- 1) Z t=a (— 1)». - 



x y 



dargestellten rechts und links gewundenen Schraubenflächen für 

 jeden ganzzahligen Werth der Zahl n den vorgeschriebenen Bedin- 

 gungen: die beiden geraden Linien zu enthalten und die gegebene 

 Cylinderfläche rechtwinklig zu treffen. 



Der Flächeninhalt S dieser Stücke wird gegeben durch die 

 Formel 



S = 7rf R l/r+72 n-hl) 3 r\dr 

 



und erlangt unter den angegebenen Voraussetzungen seinen kleinst- 

 mögliehen Werth für n = 0. (Vergl. die Aufsätze Tedenat's irn 

 Bd. 7 der Annales.) 



