vom 18. Januar 1872. 5 



Bezeichnet dL die Länge eines Elementes der Begrenzungs- 

 linie L. p die Richtung der Tangente einer dem Flächenstücke *S' 

 angehörenden Linie, welche von dem Elemente dL in das Innere 

 von S führt und auf diesem Elemente perpendikular steht, wobei 

 die Richtung vom Rande aus nach innen als positiv angenommen 

 wird, bezeichnet ferner Be die absolute Gröfse der Verschiebung 

 des Elementes dL und Bp = §e.cos(;;,§e) der Gröfse und Rich- 

 tung nach die Projektion dieser Verschiebung auf das Perpendikel 

 jp, so ist der zweite Theil der Variation des Flächeninhalts des 

 Stückes S das über alle Elemente dL von L zu erstreckende In- 

 tegral 



— fBp . dL = — fBe . cos (p, Be) . dL. 



Soll die Fläche S die Eigenschaft haben, innerhalb vorge- 

 schriebener Grenzen einen möglichst kleinen Flächeninhalt zu be- 

 sitzen, so mufs die erste Variation dieses Flächeninhalts gleich 

 Null sein, woraus bekanntlich geschlossen wird, dafs die mittlere 

 Krümmung des Flächenstückes überall den Werth Null haben mufs. 



Ist nun die Begrenzungslinie L des gesuchten Flächenstückes 

 S in allen ihren Th eilen gegeben, so ist die Variation Be für alle 

 Punkte derselben gleich Null, also ist auch für alle Punkte der 

 Begrenzung die Gröfse Bp = Be . cos (j>, Be) gleich Null und es 

 liefert daher das über die Begrenzung von S zu erstreckende In- 

 tegral — fBp.dL in diesem Falle keinen Beitrag zur Variation 

 BS. Wenn hingegen die Begrenzungslinie oder ein oder mehrere 

 Theile derselben nicht selbst gegeben sind, sondern an die Stelle 

 derselben gegebene Flächen treten, auf denen die nicht gegebenen 

 Theile der Begrenzung L liegen sollen, beziehungsweise frei varii- 

 ren können, während es sich erst noch darum handelt, diejenige 

 Gestalt der nicht gegebenen Theile der Begrenzungslinie zu ermit- 

 teln, für welche die Fläche S einen möglichst kleinen Flächenin- 

 halt besitzt, so tritt zu der Hauptbedingung, dafs die mittlere 

 Krümmung in jedem Punkte des Flächenstückes S gleich Null sein 

 soll, noch die Grenzbedingung hinzu: Überall, wo die Begrenzungs- 

 linie nicht selbst vorgeschrieben ist, sondern an deren Stelle eine 

 gegebene Fläche F tritt, auf welcher die Fläche S endigen soll, 

 mufs für den Fall des Minimums längs der Endigung der Faktor 

 COS (p, Be) gleich Null sein; mit andern Worten: es mufs in allen 

 Punkten des auf der Fläche F liegenden Theiles der Begrenzung 



