474 GesammUitzung 



20. Juni. Gesammtsitzung der Akademie. 



Hr. Kummer las: 

 Über einige besondere Arten von Flächen vierten 



Grades. 

 Die Flächen vierten Grades, welche von einer Seh aar von 

 Flächen zweiten Grades eingehüllt werden, in der Art, dafs jede 

 Fläche zweiten Grades die Fläche vierten Grades in einer Cnrve 

 vierten Grades berührt, sind alle in der Form: 



* a =f^% ...(A) 



enthalten, wo </>, \!/, y^ drei beliebige Funktionen zweiten Grades 

 der Coordinaten darstellen. Die Schaar der Flächen zweiten Gra- 

 des, welche diese Fläche vierten Grades einhüllt, ist durch die 

 Gleichung 



a 2 \J/ + 2 et (/) + % = ... (B) 



gegeben, in welcher et der veränderliche Parameter ist. Diese sehr 

 allgemeine Art von Flächen vierten Grades, in welcher die mei- 

 sten der bisher besonders behandelten interessanteren Flächen vier- 

 ten Grades enthalten sind, besitzt eine bemerkenswerthe, so viel 

 ich weifs bisher noch nicht bekannte Eigenschaft, welche das Sy- 

 stem ihrer Doppeltangenten betrifft, und welche darin besteht, dafs 

 das Strahlensystem 12 ter Ordnung und 28 ter Klasse, welches von 

 sämmtlichen Doppeltangenten der allgemeinen Fläche vierten Gra- 

 des gebildet wird, für diese besondere Art von Flächen vierten 

 Grades in zwei getrennte Strahlensysteme zerfällt, deren eines von 

 der 4ten Ordnung und der I2ten Klasse, das andere von der 

 8ten Ordnung und der 16ten Klasse ist. 



Um dies zu beweisen betrachte ich die Schaar der einhüllen- 

 den Flächen zweiten Grades (B). Eine jede Fläche dieser Schaar 

 enthält als Fläche zweiten Grades zwei Schaaren grader Linien 

 und alle diese graden Linien sind doppelt berührende Linien der 

 Fläche (A); denn da jede Fläche der Schaar (B) die Fläche (A) 

 nur berührt und nirgends schneidet, so kann auch jede auf ihr lie- 

 gende grade Linie die Fläche (A) nur berühren, die vier Durch- 

 schnittspunkte, welche eine beliebige grade Linie mit der Fläche 

 (A) hat, müssen also für jede auf einer Fläche der Schaar (B) 

 liegende grade Linie zu zwei Berührungspunkten vereinigt sein. 



