vom 20. Juni 1872. 475 



Die sämmtlichen graden Linien der Schaar von Hyperboloiden 

 (B) bilden also ein selbständiges Strahlensystem, welches die Flä- 

 che (A) zur Brennfläche hat. Um die Ordnung und Klasse dieses 

 Strahlensystems zu bestimmen, bemerke ich, dafs durch einen je- 

 den Punkt des Raumes zwei Hyperboloide der Schaar (B) hin 

 durchgehen, da die Gleichung dieser Schaar in Beziehung auf n 

 cmadratisch ist, und dafs in jedem dieser beiden Hyperboloide zwei 

 grade Linien durch diesen Punkt gehen. Das Strahlensystem ist 

 also von der 4ten Ordnung, da durch jeden Punkt des Raumes 

 vier Strahlen desselben gehen. Betrachtet man ferner eine belie- 

 bige feste Ebene, so wird dieselbe von 6 Hyperboloiden der Schaar 

 (B) berührt, denn die Bedingungsgleichung für die Berührung ist 

 in Beziehung auf die Coefficienten der berührenden Fläche zwei- 

 ten Grades von drei Dimensionen, also in Beziehung auf « vom 

 6ten Grade. Der Durchschnitt der festen Ebene mit den sechs 

 dieselbe berührenden Flächen zweiten Grades giebt aber 12 grade 

 Linien, welche die in dieser Ebene liegenden Strahlen des Systems 

 sind, sodafs dasselbe von der 12ten Klasse ist. 



Die Bedingung, dafs die Fläche zweiten Grades (B) zu einer 

 Kegelfläche werde, ist in Beziehung auf die Coefficienten der Flä- 

 che von vier Dimensionen, also in Beziehung auf den Parameter 

 a vom achten Grade; es giebt also acht Kegel zweiten Grades, 

 deren grade Linien dem Strahlensysteme 4ter Ordnung und 12ter 

 Klasse angehören und Strahlenkegel desselben bilden. Die Mittel- 

 punkte dieser acht Kegel zweiten Grades gehören im Allgemeinen 

 der Brennfläche (A) nicht an. Nach der allgemeinen Definition 

 der Brennfläche, nach welcher sie der geometrische Ort der Punkte 

 des Raumes ist, für welche zwei der von ihnen ausgehenden Strah- 

 len sich zu einem vereinigen, mufs aber ein jeder Mittelpunkt eines 

 Strahlenkegels ein Punkt der Brennfläche und zwar ein Knoten- 

 punkt derselben sein. Dieser scheinbare Widerspruch löst sich 

 dadurch, dafs die Brennfläche vierten Grades (A) nur einen beson- 

 deren Theil der durch diese allgemeine Definition bestimmten 

 Brennfläche bildet. Allgemein: wenn man das vollständige System 

 aller doppelt berührenden graden Linien einer Fläche nten Grades 

 als Strahlensystem auffafst, so ist diese Fläche wten Grades nur 

 in dem Sinne die Brennfläche des Systems, als sie von allen Strah- 

 len des Systems zweimal berührt wird, in dem Sinne aber, dafs 

 die Brennfläche der geometrische Ort aller Punkte des Raumes 



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