vom 20. Juni 1872. 477 



Kegel zusammen ein Gebilde des ll2ten Grades ausmachen, so 

 kann nur noch eine abwickelbare Fläche des 48sten Grades hin- 

 zukommen, welche im Allgemeinen nicht konisch ist, sondern eine 

 wirkliche Wendekurve besitzt. 



Stellt man die beiden Schaaren grader Linien, welche auf 

 einer jeden Fläche der Schaar (B) liegen, gesondert dar, so ent- 

 hält ihr Ausdruck als einzige Irrationalität die Quadratwurzel aus 

 der Determinante A, welche gleich Null gesetzt die Bedingung 

 giebt, dafs die Fläche zweiten Grades (B) eine Kegelfläche sei. 

 Wenn nun diese Determinante A, welche eine ganze rationale 

 Funktion achten Grades von « ist, ein vollständiges Quadrat ist, 

 also ]/A rational in Beziehung auf «, so lassen sich die beiden 

 Schaaren von graden Linien auf der Fläche zweiten Grades (B) 

 trennen, in der Art, dafs beide für sich rational in Beziehung auf 

 « ausgedrückt werden, und man erhält statt eines Strahlensystems 

 4ter Ordnung zwei Strahlensysteme 2ter Ordnung. Auf diese 

 Weise kann man alle Strahlensysteme zweiter Ordnung herleiten, 

 welche Brennflächen und nicht Brenncurven haben, mit alleiniger 

 Ausnahme des Strahlensystems 2ter Ordnung und 7ter Klasse, da 

 sich die Strahlen aller übrigen in Schaaren zusammenfassen lassen, 

 welche nur je eine Schaar der graden Linien eines Hyperboloids 

 ausmachen. Die Strahlen des Strahlensystems 2ter Ordnung und 

 7 ter Klasse aber lassen sich überhaupt nicht in Schaaren von gra- 

 den Linien von Hyperboloiden zusammenfassen, sowie auch die 

 Brennfläche dieses Strahlensystems die einzige ist, welche nicht als 

 Einhüllende einer Schaar von Flächen 2ten Grades dargestellt 

 werden kann. 



Ich betrachte jetzt die etwas speciellere Art von Flächen vier- 

 ten Grades, deren Gleichungen die Form haben: 



,/j 2 == pqrs . . . (C) 



wo ip eine Funktion zweiten Grades, p, q, r, s lineare Funktionen 

 der Coordinaten sind. Diese Art von Flächen läfst sich auf drei 

 verschiedene Arten als Einhüllende einer Schaar von Flächen zwei- 

 ten Grades betrachten, denn eine jede der drei Schaaren von Flä- 

 chen zweiten Grades: 



" * P 1 "+" 2 u </' -f- »' s = 

 ß 2 pr -f- 2/3</> +2«s0 ... (D) 

 y*ps -f- 27«/) -\-pn = o 



