vom 20. Juni 1872. 479 



p .= o , q = und r = , s = ergiebt. Diese Schaar von Flä- 

 chen zweiten Grades enthält also nur vier wirkliche Kegel und da 

 dasselbe auch bei den beiden anderen Schaaren bei (D) der Fall 

 ist, so hat die Fläche (C) im Ganzen 12 einhüllende Kegel zwei- 

 ten Grades, deren Mittelpunkte nicht in den Knotenpunkten dieser 

 Fläche liegen. 



Das vollständige System aller doppelt berührenden graden Li- 

 nien der Fläche (C) besteht also aus vier Strahlensystemen Oter 

 Ordnung und 1 ter Klasse und aus drei Strahlensystemen 4ter 

 Ordnung und 8 ter Klasse, mit zwölf von den Knotenpunkten aus- 

 gehenden Strahlenkegeln vierten Grades und 12 nicht von den 

 Knotenpunkten ausgehenden Strahlenkegeln zweiten Grades. 



Die abwickelbare Fläche des I60sten Grades, welche von der 

 Schaar aller doppelt berührenden Ebenen der Fläche (C) eingehüllt 

 wird, besteht für diese Art von Flächen vierten Grades nur aus 

 Kegelflächen und Ebenen. Es gehören dazu erstens die 12 ein- 

 hüllenden Kegel vierten Grades, welche von den 12 Knotenpunk- 

 ten ausgehen, welche, da sie doppelt zu zählen sind, zusammen 

 ein Gebilde des 9Gsten Grades ausmachen. Ferner gehören dazu 

 die 12 einhüllenden Kegel zweiten Grades, welche einfach zu zäh- 

 len sind und darum ein Gebilde des 24sten Grades ausmachen. 

 Endlich gehören noch die 4 singulären Tangentialebenen dazu, de- 

 ren jede zehnfach zu zählen ist, welche also zusammen ein Gebilde 

 40sten Grades darstellen. Hierdurch wird der Grad 160 dieser 

 abwickelbaren Fläche vollständig erschöpft. 



Um möglichst bestimmte Anschauungen der in der Form 

 ip 2 = pqrs 

 enthaltenen Flächen vierten Grades zu gewinnen, habe ich einige 

 der merkwürdigsten durch Gypsmodelle dargestellt. Dabei habe 

 ich, um möglichst symmetrische und reguläre Formen zu erhalten, 

 die vier Ebenen 2> = 0,g , = 0,r=0,s = als die vier Seiten- 

 flächen eines regulären Tetraeders gewählt und die Fläche zwei- 

 ten Grades </> = als eine Kugelfläche, deren Mittelpunkt mit dem 

 Mittelpunkte des regulären Tetraeders zusammenfällt, nämlich: 

 p = z — k + .rj/2 , 

 7 = z — k — x]/2 , 

 rss« + i+ y 1/2 , 

 I = z 4- k — ?/ ]/2 , 



