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und 



so dafs die Gleichungen der dargestellten Flachen alle die Form 

 haben: 



(.r 2 + y 2 4- r 2 - u* 2 ) 2 = }. ((z — *)" - 2.r 2 ) ((* 4- k)* — 2y-) . 



Uni die Flächen vollständig darstellen zu können, habe ich 

 nur diejenigen "Werthe der Constanten gewählt, für welche sie 

 ganz in einem endlichen begränzten Räume enthalten sind. Dieses 

 hängt, wie leicht zu sehen ist, nur von der einen Constante ?. ab 

 und die genaue Untersuchung ergiebt, dafs für die Werthe des /, 

 welche in den Gränzen >. = — 3 bis /. = -+• 1 enthalten sind, 

 diese Flächen stets in einem endlichen Räume enthalten sind, für 

 alle nicht in diesem Intervalle liegenden Werthe des /. aber sich 

 ins Unendliche erstrecken. Für /. = erhält man zwei sich 

 deckende Kugelflächen, und die Gestalt der Fläche wird wesentlich 

 geändert, wenn /. durch diesen Werth /. = hindurchgeht. 



Wenn die Constante u kleiner als Eins ist, so hat die Fläche 

 keine realen Knotenpunkte, weil die sechs Kanten des regulären 

 Tetraeders alsdann die Kugelfläche nicht treffen. Für p = 1, wo 

 die sechs Tetraederkanten die Kugelfläche berühren, treten zuerst 

 reale Knotenpunkte auf und zwar sechs biplanare Knotenpunkte, 

 weil je zwei der zwölf Durchschnittspunkte der sechs Tetraeder- 

 kanten mit der Kugel zu einem zusammenfallen. Wenn u gröfser 

 als Eins ist, so sind zwölf reale Knotenpunkte mit osculirenden 

 Kegeln zweiten Grades vorhanden. Nur in dem besonderen Falle 

 pi = 3, wo die vier Ecken des regulären Tetraeders auf der Ku- 

 gelfläche liegen, treten je drei der 12 Knotenpunkte zu einem zu- 

 sammen und bilden so vier uniplanare Knotenpunkte. Wenn u 

 gröfser als 3 wird, so treten sie wieder zu 12 konischen Knoten- 

 punkten auseinander. 



Das Modell I stellt die Fläche dar für die Werthe der Con- 

 stanten 



u = 1 , /. = — i , k = 40 ram . 



Dieselbe besteht aus vier congruenten Theilen, welche nur in den 

 sechs biplanaren Knotenpunkten zusammenhängen. Die beiden os- 



