vom 24. Juni 1872. 495 



W Y X 2 X 3 -+■ W 2 X 3 X X -+■ W 3 X l X- i 



hinzugefügt und alsdann beide ternären Formen gleichzeitig in die 

 Summe von Quadraten, also resp. in: 



y? -t- yl -h 2/1 3 Pi y\ + p*y\ h-jps y\ 



transformirt, wobei 



J'i +]' 2 +i'3=0 r 1 +l»i >0 ? 1 4-JPa > , 1 rt-jpa > 



ist, so wird die Determinante, nämlich das Produkt 



offenbar nur dann ein Maximum, wenn p x = p% = p 3 = und 

 demnach auch w x = w 2 = w 3 = ist. — Ganz ebenso wie bei 

 Weglassung eines Formwerthes vereinfacht sich das Problem, 

 sobald noch ein fünfter Formwerth hinzugegeben wird, d. h. wenn 

 es sich darum handelt in einer „Schaar" von Formen 



(1 — /.) cp (.«! , x 3 , x 3 ) + X\^(#, , x, , x 3 ) 



diejenige positive Form zu bestimmen, deren Determinante am 

 gröfsten ist. Der betreffende Werth von ?. ist nämlich einer der- 

 jenigen beiden reellen Werthe, für w T elche die nach >. genommene Ab- 

 leitung der Determinante von tp -f- ?. (\L — cp) verschwindet. Dafs 

 hierbei alle Bedingungen der Aufgabe erfüllt werden, ist folgender- 

 mafsen darzuthun. Denkt man sich jede Form der Schaar als 

 Aggregat von drei Quadraten dargestellt, so haben diese ihre be- 

 stimmten drei Vorzeichen und es ist also jeder Form eine gewisse 

 „Zeichencombination" eigenthümlich. Die ganze Werthreihe von 

 /. = — oo bis ?. = -\- oo wird nun durch die Nullwerthe der De- 

 terminante in vier Intervalle getheilt, denen ebensoviel „Abtheilun- 

 gen" der Schaar entsprechen. Den sämmtlichen Formen einer und 

 derselben Abtheilung ist eine und dieselbe „Zeichencombination" 

 eigenthümlich, während von einer Abtheilung zur andern sich eins 

 der drei Zeichen ändert. Die den beiden äufseren Intervallen ent- 

 sprechenden Abtheilungen enthalten nur „unbestimmte" (indefinite) 

 Formen, da es nach der Voraussetzung reelle Werthe der Varia- 

 bein x giebt, wofür (/> = -1/ also wofür die Form 4/ — </> gleich 

 Null wird. Die Werthe X = und >. = 1 müssen daher einem 

 der beiden inneren Intervalle angehören, weil die entsprechenden 



