496 Sitzung der physikalisch-mathematischen Iüasse 



Formen <p und \I/ positive und bestimmte sind, und in demselben 

 Intervalle mufs, eben weil es ein inneres und die Determinante 

 darin positiv ist, der zu deren Maximalwertb gehörige Werth von 

 ?. liegen. 



§• 2- 



Für die oben zuerst erwähnte geometrische Anwendung seien 

 1, 2, 3, 4 die vier Eckpunkte und /, , / 2 , / 3 , f t die absoluten In- 

 halte der gegenüberliegenden Flächen eines Tetraeders. Die vier 

 Ebenen mögen resp. mit I, II, m, iv und die Cosinus der Winkel 

 ihrer Normalen mit 



C gh (y,A = 1,2,3,4) 



bezeichnet werden. Für das gröfste Tetraeder mit den gegebenen 

 Flächeninhalten fi,/»,/^/* (oder für ein diesem ähnliches) sind 

 die Gröfsen c 12 , c 23 , c 31 so zu bestimmen, dafs die Form (f) im 

 §. 1 positiv, ihre Determinante möglichst grofs werde, und dafs 

 sie dabei für x x = x t = x 3 = 1 den Werth fl erhalte, da die Be- 

 dingung 



(A) /!+/!+/! 4- 2C 23 / 2 / 3 4- 2c n / 3 / 1 4- 2c 12 /,/, = fl 



erfüllt sein mufs. Die übrigen drei Cosinus c 14 ,c 24 ,c 34 bestim- 

 men sich dann durch die Bedingung 



(A') /, ■+■ c l2 / 2 4- c 13 / 3 4- c u / 4 = 



und deren analoge. 



Da die Summe der vier oben algebraisch definirten Gröfsen 

 "i)"2)"3)"4 gleich Eins ist, so können dieselben als die auf 

 ein beliebiges Tetraeder 1, 2, 3, 4 bezogenen homogenen Coordina- 

 ten eines Punktes 5 angesehen werden, d. h. es giebt einen sol- 

 chen Punkt, für welchen sich die Tetraederinhalte 



(1234) : (5234) : (1534) : (1254) : (1235) 

 wie 



1 : 0, : r 2 : v 3 : ü t 



verhalten, wenn jene mit den geeigneten Vorzeichen also z. B. 

 (1234) und (5234) mit gleichem oder entgegengesetztem Zeichen 

 genommen werden, je nachdem die Punkte 1 und 5 auf einer und 



