vom 24. Juni 1872. 499 



mit dem Cosinus ihrer Richtungsunterschiede constant als auch die 

 sämmtlichen sechs Produkte je zweier vom Punkte 5° aus nach 

 den Ecken ausgehenden Linien und des Cosinus ihres eingeschlos- 

 senen Winkels. Durch die letztere Eigenschaft allein d. h. durch 

 die Existenz eines solchen Punktes 5° ist schon — bei gegebenen 

 Seitenflächen-Inhalten — sowohl dasjenige Tetraeder völlig be- 

 stimmt, welches das gröfste Volumen hat, als auch dasjenige, des- 

 sen Höhen sich in einem Punkte treffen, und zwar so, dafs sich 

 beide als identisch erweisen. Denn nimmt man den Punkt 5° als 

 Mittelpunkt eines orthogonalen Coordinatensystems, so mufs der 

 Voraussetzung gemäfs die Relation 



W + VhVi H- **«i = x n x k + VhVk + z nZk 



für je drei Indices h, i, k = 1, 2, 3, 4 d. h. für je drei Tetraeder- 

 ecken statthaben. Diese Relation besagt aber auch, dafs die Linie 

 (5%) gegen die Kante (ik) senkrecht gerichtet ist und der Punkt 

 5° mufs demnach auf jeder der vier Höhen liegen. Da für einen 

 Höhenpunkt 5° die Gleichungen (B°) bestehen, so ergeben sich 

 daraus für dessen homogene Coordinaten ^1,^2,^3,^4 die Bestim- 

 mungen 



w, - «5 :«, - »1 : v 3 - vi : i t - v\ = /» :/| :/| :/» , 



welche die Richtigkeit jener Behauptung darthun. Ein Tetraeder, 

 dessen vier Höhen sich in einem Punkte treffen, umschliefst daher 

 ein gröfseres Volumen, als irgend ein anderes, dessen Seitenflächen 

 dieselben Inhalte haben, und umgekehrt ist das gröfste Tetraeder 

 durch die Existenz eines Höhenpunktes vollkommen definirt. End- 

 lich resultirt aus der vorhin dargelegten charakteristischen Eigen- 

 schaft eines Höhenpunktes 5° eine einfache und anschauliche Con- 

 struktion des gröfsten Tetraeders. Da nämlich 



(51) = (5 1) (v\ — j (»") = 0") (p\ — etc. 

 ±s(ö°l ) 2 = v\ — 1 , 4s(5°2°) 2 = v', — 1 etc. 



ist, so hat man nur in irgend einem Tetraeder mit den gegebenen 

 Seitenflächen den Punkt 5 zu bestimmen und alsdann von einem 

 beliebigen Punkte 5° aus in vier verschiedenen Richtungen vier 

 Strecken 



(5°l°) . (5°2°) . (6 -y. ) • (5° 4°) 



