502 Sitzung ehr physikaliscli-mat/tcmatisclum Klasse 



gleich Null sind d. h. wenn die Punkte 1, 2, 3 auf einem Systeme 

 eonjngirter Durchmesser liegen. Soll die Oberfläche des Ellipsoids 

 aber noch den Punkt 4 enthalten, so mufs überdies die Gleichung 



H + i\ + H ■+- 2(? 12 £,£ 8 + 2C M £,£, + 2 <?„£,£, = 1 



erfüllt sein, wenn £i, £ 2 <> Zz die Coordinaten des Punktes 4 bedeu- 

 ten. Setzt man 



z k — fk x k i Sfc/l = fk V* s= *> 2 > 3 )> 



so ist nach der obigen algebraischen Darlegung 



(E) v t x\ ■+■ v 2 xl -+- v s s\ — (t',tf, H- f 2 .r 2 -+- v 3 x z y — r 



die Gleichung des dem Inhalte nach kleinsten Ellipsoids mit gege- 

 benem Mittelpunkt und vier gegebenen Oberflächenpunkten. Ebenso 

 ergiebt sich das kleinste Ellipsoid mit fünf gegebenen Oberflächen- 

 punkten und zwar in der Weise, dafs irgend ein sechster Punkt 

 dazu (im engeren Sinne des Wortes) geometrisch construirt wer- 

 den kann. Die Lage des Mittelpunktes mufs stets eine derartige 

 sein, dafs die Summe der absoluten Werthe der drei Coordinaten 

 £ kleiner als Eins ist; andernfalls läfst sich überhaupt kein Ellip- 

 soid dem gegebenen Tetraeder umschreiben. 



Um nun auf den Fall, wo vier Oberflächenpunkte gegeben 

 sind, noch näher einzugehen, seien r<,, u 2 , m 3 , w 4 homogene Coor- 

 dinaten eines variabeln Punktes p, das Tetraeder [l, 2, 3, 4] als 

 Fundamentaltetraeder angenommen; und zwar sollen sich 



1 : u x : u-, : u 3 : ?/ 4 

 verhalten wie 



(1234) : G>23 4) : (l;>34) : (l2p4) : (l2 3;>) . 



Die vier Gröfsen t»,, v 2 , v 3 , v t seien die Coordinaten eines Punk- 

 tes 5, welcher vermöge der Relation (F*) im §. 1 durch die Pro- 

 portionen 



t>, — vi : t> 2 — vi : 0, — v\ : v t — v'\ = uj, : l£ : */.:„ : »;„ 



bestimmt wird, wenn man die dortigen Gröfsen /i>/j»/»,/< den 

 absoluten Werthen der vier Coordinaten « 10 ,m 20 , m 3u , » 40 des Punk- 

 tes proportional setzt. Der Punkt 5 i<t demnach durch die l: 

 dingtmgen 



