vom 21. October 1872. IIb 



Diese Voraussetzung ist aber, wenn die Grenzbedingungen, 

 denen das Flächenstück M genügen soll, auch eine Flächenbegren- 

 zung enthalten, im Allgemeinen nicht erfüllt, da bei dieser An- 

 nahme die Grenzen des Doppelintegrals, durch welches jener Flä- 

 cheninhalt ausgedrückt ist, im Allgemeinen von e abhängen. Es 

 mufs daher für diesen Fall zu dem gefundenen Ausdrucke für & 2 S 

 noch ein Ergänzungsglied hinzugefügt werden. "Wenn dL ein Ele- 

 ment der Begrenzung von M und M* den Krümmungsradius des 

 auf diesem Elemente senkrechten Normalschnittes der begrenzenden 

 Fläche bezeichnet, positiv oder negativ gerechnet, jenachdem der 

 Krümmungsradius dem Innern von M zu- oder abgewandt ist, so 

 ist dieses Ergänzungsglied das über die Begrenzung zu erstreckende 

 Integral 



~fli* - dL = — ßjj* • (i ■+■ **i) V8008i(«i) • VäjüdTx 



und es ergibt sich also schliefslich für die zweite Variation des 

 Flächeninhalts von M folgende Gleichung: 



Wenn nun die Begrenzung von M als fest angenommen wird, 

 so sind nur solche Variationen dieses Flächenstückes in Betracht 

 zu ziehen, bei welchen die Begrenzung nicht geändert wird, die 

 Variation w also längs des ganzen Randes gleich Null ist. 



Unter dieser Voraussetzung erhält das in dem Ausdrucke für 

 b 2 S vorkommende Randintegral den Werth Null. Es sind dann 

 drei Fälle zu unterscheiden. 



I. Wenn es eine den angegebenen Bedingungen genügende 

 Funktion \^ gibt, welche weder im Innern noch auf dem Rande 

 des betrachteten Bereiches gleich Null wird, so hat die zweite Va- 

 riation des Flächeninhalts für alle in Rücksicht auf die Grenzbe- 

 dingungen zulässigen Variationen einen positiven Werth und es 

 besitzt daher das betrachtete Flächenstück M wirklich ein Minimum 

 von Flächeninhalt. 



