726 Sitzung der physikalisch-mathematischen Klasse 



Dieser Satz läfst sich dahin erweitern, dafs der Schlufs auf 

 das Eintreten des Minimums auch dann noch gestattet ist, wenn 

 eine den übrigen Bedingungen genügende Funktion ^ bekannt ist, 

 welche zwar in einzelnen Punkten oder längs einzelner Theile der 

 Begrenzung des Integrationsbereiches gleich Null, für das ganze 

 Innere und für einen Theil des Randes desselben aber von Null 

 verschieden ist. 



II. Wenn der Bereich T so beschaffen ist, dafs es eine Funk- 

 tion \p gibt, welche, ohne im Innern von T den Werth Null an- 

 zunehmen, am ganzen Rande dieses Bereiches den Werth Null hat, 

 so ist die Untersuchung der zweiten Variation allein nicbt hinrei- 

 chend, um zu entscheiden, ob ein Minimum des Flächeninhalts ein- 

 tritt oder nicht. Denn wenn w =• \^ gesetzt wird, so wird b 2 S 

 gleich Null. 



Im Allgemeinen wird in diesem Falle ein Minimum nicht 

 eintreten, w r eil die dritte Variation 



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im Allgemeinen einen von Null verschiedenen Werth besitzt. 



III. Wenn es aber möglich ist, die angegebene partielle Dif- 

 ferentialgleichung so zu integriren, dafs die Funktion %// am ganzen 

 Rande eines Theiles des Integrationsbereiches gleich Null, im Innern 

 dieses Theiles aber von Null verschieden ist, so kann mit Sicherheit 

 behauptet werden, dafs für diesen Bereich ein Minimum nicht 

 eintritt, denn es kann in diesem Falle die zweite Variation nicht 

 blofs gleich Null werden, sondern auch negative Werthe an- 

 nehmen. — 



Es kommt daher alles darauf an, zu untersuchen, welcher der 

 drei Sätze in einem gegebenen Falle Anwendung findet ; für diese 

 Untersuchung läfst sich indefs eine allgemeine Regel nicht wohl 

 aufstellen. 



Da die partielle Differentialgleichung, welcher die Funktion 

 ^/ genügen mufs, durch die Formel 



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allgemein integrirt wird, da jeder solchen Funktion 4/ eine der 

 ursprünglichen Minimalfläche unendlich benachbarte Minimalfläche 



