Nachtrag. 
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darstellen lassen, deren Coefficienten cyklische Functionen der 
Grössen x sind. Dies ergiebt sich aber auch direct, wenn inan 
diese Summen mit 
41 ) 42 ) 
'"l ’ ^2 ’ ■■■ 
bezeichnet und 
r, , = 4> 
41 ) 
Ai+i-, 
42 ) 
‘■/m+Ao’ 
für — 0, 1 , ... — 1 , Ä’g = 0,1,... ??2 — 1 , ... setzt, da sich 
hieraus die Functionen 4> oftenhar als cyklische Functionen der 
Grössen x bestimmen. 
VIII. Aus der zweiten in No. III gegebenen Definition folgt 
unmittelbar, dass jeder Theiler einer Abelschen Gleichung selbst 
eine Abelsche Gleichung ist und andrerseits ist leicht zu sehen, 
dass auch das Product von Abelschen Gleichungen, deren Wur- 
zeln sämmtlich derselben Gattung angehören, eine Abelsche Glei- 
chung sein muss. 
Es sind hier in üblicher Weise die Ausdrücke „Product‘‘ und 
„Theiler“ von den gleich Null gesetzten ganzen Functionen von x 
auf die Gleichungen selbst übertragen worden, und unter dem Be- 
grifle der Gattung algebraischer Functionen der Grössen jfi, 31', 3i",... 
sind wie in meinen früheren Aufsätzen alle diejenigen zusammen- 
gefasst, die rationale Functionen irgend einer derselben und eben 
jener Grössen 3i sind. 
IX. Das in No. VII angegebene Resultat enthält den wich- 
tigen Satz, dass jede Wurzel einer beliebigen Abelschen Gleichung 
eine rationale Function von Wurzeln einfacher Abelscher Glei- 
chungen ist. Mittels dieses Satzes, welcher dem in No. V aufge- 
stellten correspondirt, finden sich die allgemeinen Abelschen Glei- 
chungen im Wesentlichen auf die „einfachen“ zurückgeführt und 
jener Satz im Monatsbericht von 1853 S. 373 erweitert sich in so 
abschliessender Weise, dass er auch in umgekehrter Folge seine 
Geltung behält und demnach so formulirt werden kann: 
Alle Wurzeln Abelscher Gleichungen mit ganzzahligen 
Coefficienten sind rationale Functionen von Wurzeln der 
Einheit, und alle rationalen Functionen von Wurzeln der 
Einheit sind Wurzeln ganzzahliger Abelscher Gleichungen. 
Dieser Satz giebt, wie mir scheint, einen werthvollen Einblick 
in die Theorie der algebraischen Zahlen; denn er enthält einen 
