Nachtrag. 
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nalem Verhältniss zu den Perioden stehen. Nach obigen Ausführungen 
können dieselben kurz als Abelsche Gleichungen bezeichnet wer- 
den, deren Coeficienten keine andern Irrationalitäten als Quadratwur- 
zeln ganzer Zahlen enthalten, und es ist zu vennuthen, dass die Ge- 
sammtheit solcher Gleichungen durch jene, die aus der Theorie 
der elliptischen Functionen hervorgehen, erschöpft wird. 
Die er\vähnte Eigenschaft der Gleichungen, deren Wurzeln 
singuläre Moduln der elliptischen Functionen sind, habe ich im 
Jahre 1857 mittels folgender einfachen Betrachtungen, später aber 
noch auf verschiedene andre Weisen abgeleitet. 
Es sei D eine negative ganze Zahl, D P — 4ac und 
F(x) = 0 die Theilungsgleichung der elliptischen Functionen mit 
einem zu V D gehörigen singulären Modul, welche die Theilung der 
ganzen Perioden in a Theile ergiebt. Da nun diese elliptischen 
Functionen eine Multiplication mit zulassen, so kann aus 
der Gleichung F(x) =■ 0 in bekannter Weise eine andere Gleichung 
desselben Grades ^(.r) = 0 hergeleitet werden, deren Wurzeln aus 
den elliptischen Functionen, welche die Wurzeln von F(x) =: 0 
bilden, durch Multiplication der Argumente mit (b -t- 1^Z>) hervor- 
gehen. Diese Gleichung = 0 enthält aber (a — l) mal die 
Wurzel Null und jede andere genau amal, so dass 
(.r) = (Cj -F Cg .r H f- c„ 
wird. Bei geeigneter Wahl der elliptischen Functionen ist hier der 
Coefficient selbst ein zweiter zu V D gehöriger singuläi’er Modul, 
welcher demnach rational durch den ersten Modul dargestellt er- 
scheint, und zwar so, dass die für die Abelschen Gleichungen 
charakteristische Vertauschbarkeit der Functionen stattfindet. 
Es ist schliesslich noch auf den die Abelschen Gleichungen 
behandelnden Abschnitt in Hrn. C. Jordan’s 'Traite des substi- 
tutions S. 286 bis 292 zu verweisen, in welchem die Eigenschaften 
derselben aus denen der bezüglichen Substitutionsgruppen hergeleitet 
sind; doch findet sich der Inhalt des in No. IX ausgesprochenen 
Satzes, welcher den eigentlichen Zweck der vorstehenden Notiz 
bildet, dort nicht ausdrücklich hervorgehoben. 
