Příspěvky k vlastnostem normál ploch druhého řádu. 123 



m a n, jakož i normály v bodech wi' a n', jsou též v rovině a sice 

 jest tato rovina stanovena přímkou C a přímkou mns, resp. in'n's. 

 Nazveme tyto dvě roviny <? a <?'. Dvě normály, ležící v rovině a resp. 

 6' protínají se v bodě x resp. a?', které náležejí dvojnásobné křivce 

 D^. Přímka xx' jest při tom průsečnicí rovin f* a v. 



Páry přímek MN, . . . jakož i páry přímek mn, m'n', tvoří 



kvadratické spolu projektivně involuce, z nichž první má za dvojná- 

 sobné prvky přímku as^S a. poláru U bodu s ve křivce Cj, druhá 

 pak přímky S 9. B. Z toho vyplývá, že páry rovin fiv tvoří involuční 

 svazek tečných rovin plochy x^ a roviny <r(?', . . . involuční svazek 

 o ose C. První z těchto svazků má za dvojnásobné roviny rovinu 

 aC^T B. druhou rovinu tečnou ť přímkou U ke ploše x^ vedenou, 

 druhý pak rovinu t a rovinu ar. 



Z toho, že roviny ftv, . . . tvoří involuci tečných rovin plochy x^ vy- 

 plývá, že průsečnice xx', . . . každého páru rovin této involuce jsou v rovině 

 ů procházející přímkami T a !P, v nichž roviny r a r' dotýkají se 

 plochy «2' Přímky xx\ . . . tvoří v rovině d svazek o středu a pro- 

 jektivný s involuci rovin iiv,... a tudíž i s involuci ^<?', ... a vý- 

 tvorem této involuce se svazkem xx\, . . jest křivka Di^. 



Poněvadž při této projektivnosti paprsku T počítanému ke 

 svazku xx' odpovídá v involuci G6' dvojnásobná rovina r (aC), jest 

 výtvorem těchto dvou projektivných útvarů křivku 2. řádu, do- 

 týkající se přímky T v bodě í, ve kterém tato přímka protíná 

 přímku C. Upozorňujeme, že bod t odpovídá v projektivnosti řad 

 c . . . a r , . . bodu s počítanému do řady r . . .. 



Tím ustanovili jsme řád křivky D^^ její rovinu ů a jeden bod 

 (ť) jakož i tečnu (at ^ T) v něm. Dokážeme ještě, že křivka D^ má 

 s křivkou Q dva společné body. 



Budiž M^""^ přímka sdružená s bodem s přímky C (9., 11.) ^). 



Přímka tato protíná Gj v bodech w a v, jejichž spojnice s bodem 

 s jsou normály Nu a Ny z bodu s ke ploše qpj vedené. Každá z těchto 

 normál protíná Q ještě v jednom bodě w', resp. v' a spojnice těchto 

 dvou bodů prochází bodem a. Normály pl. tp^ v bodech u' a v' jsou 



*) Reye „Geometrie der Lage, 2. Abth., 21. Vortrag". Některé vlastnosti os 

 a pólů, jichž bude v tomto pojednání užito, odvozeny jsou v mé práci „Beitráge 

 zu den Eigenschaften des Axencomplexes etc." Sitzungsber. der konigl. bóhm. 

 Gesellsch. der Wissenschaften 1886. 



^) Přímka M^*^ prochází tím bodem přímky B, který jest sdružen s bodem 

 «, počítáme-li jej k řadě c . . .. V této přímce dotýká se plocha jtj roviny q. 



