124 Frant. Machovec 



V rovinácli Ň^ a iV^ a body iV„ÍV;,., NyJSÍy, t. j. body u' a v' jsou 

 tedy na křivce D^. 



Křivka Do dotýká se dle předešlého plochy x^ v bodě í, majíc 

 přímku at za tečnu. Z toho jde, že musí míti s plochou x^ ještě dva 

 body společné, jež snadno určíme. Jak bylo vytčeno jest v involuci 

 MZV, . . . přímka U jednou, přímka as druhou přímkou dvojnou. Při- 

 hlédněme nejprve k přímce U. Pro tuto přímku splynou body m slu, 

 jakož i m' a w', tudíž i vždy dvě normály plochy (p^, v těchto bodech v jedno, 

 ale i průsečníky těchto splývajících normál musí náležeti křivce D^. Po- 

 něvadž tyto splývající normály jsou tečnami plochy Xj, jsou ony prů- 

 sečníky v bodech dotyčných těchto normál s plochou X2. Křivka D^ 

 protíná tedy plochu x^ v bodech, ve kterých se této plochy dotýkají 

 normály plochy (p^ v bodech UC^. 



Užijeme-li podobných úsudků pro druhou dvojnou přímku as 

 involuce, dospějeme k známému nám již výsledku, že křivka D^ do- 

 týká se plochy x^ v bodě t. Rozdíl v úsudcích jest jen ten, že 

 splynul prve bod m s bodem n a bod m' s n\ kdežto nyní sjednotí 

 se bod m s bodem n' a bod m' s bodem n. 



Podotýkáme ještě, že body, v nichž křivka D^ protíná plochu x^, 

 jakožto průsečníky nekonečně blízkých normál plochy 9P2, jsou hlav- 

 ními středy křivosti této plochy pro body CfC^ a dále že roviny ur- 

 čené body UC^ a přímkou C jsou jediné dvě (reál. nebo imag.) hlavní 

 od roviny jí různé roviny normálně plochy gj^, které přímkou C pro- 

 cházejí. (6) 



13. Nebudeme se dále zabývati vlastnostmi plochy 954, — neníť 

 to účelem tohoto pojednání a poukážeme jen ještě na jeden zvláštní 

 případ. Prochází-li přímka C roviny na př. n^ některým z vrcholů 

 čtyřstěnu ^, na př. ď\ prochází tímto vrcholem i přímka R (9). 



V tomto případě jest řada bodů c . . . v poloze perspektivné s řadou 

 bodů r . . ., poněvadž vrchol čtyřstěnu z^, jímž přímka C prochází, 

 odpovídá při této projektivnosti sám sobě. Plocha jř^ přejde následkem 

 toho ve dva svazky rovin, z nichž nejprve všimneme si toho, jehož 

 osou není přímka ďď\ Tento svazek má osu v rovině st", poněvadž 

 body průsečné přímek C a i? s hranou ď'^a^ jsou spolu při této 

 projektivnosti sdruženy. Plocha 9P4 má tedy v tomto případě dvě 

 dvojnásobné přímky; jednu v rovině jť procházející bodem a'\ druhou 

 v rovině ar" procházející bodem a'. Tím dospěli jsme k známému 

 výsledku : 



Plocha normál plochy 2. řádu podél křivky, jejíž 

 rovina prochází dvěma v i- c h o 1 y základního čtyř- 



