40 SCIALE FUNZIONI ELLITTICHE 



Dalle equazioni (b) , e dalle espressioni di M , N corrispettive si otterrà la quan- 

 tità 



T = N 2 k 2 (1 + li 2 ) 2 (1 — k 2 ) 2 — M 2 li 1 (1 4- /e-) 2 (1 - Wf . . . (i), 

 la quale, posto o i = hk, può altresì presentarsi sotto la forma 



T=-(M Ì W—N % W) [(l-0 8 ) 2 +(/,; 2 -/ 4 2 j 3 ]-2(ilf 2 /t 2 +iV r2 /<; 2 )(l-0 8 )(A; 2 -/t 2 ). . (*)s 

 comporremo eziandio l'espressione 



E = k 2 h 2 (1 — A;*-)» (1 — A*)* = 8 (1 — A; 2 ) 2 (1 — *»)». . . . (0; 

 trattasi in fine di verificare se per ognuna delle (b) sussiste l'equazione 



Q = 2NQ— ZP 2 + ^-M 2 N 2 {ni). 



n 



In fatti, moltiplicando per M 6 l'equazione («) da verificare, si ha 



.-.(«K)(jnS)-.(*S)" 



e dietro le equazioni (e), (cf), (#) si ottiene 



ma si ha -p- = -p- , -p- = -p- , ridneendo si trova 



o=2^g - 3P 2 + 98(1 _y ( 1 1 _ ft , ) » [^ ,A;i ( 1 + /i2 ) 2 a-* 2 ) 2 - M ' ìhì Q+W 2 < l - hì ^ ' 



che è appunto l'equazione (vi). 



I. 

 Consideriamo in primo luogo l'equazione 



che differenziata dà 



1 — h t d h _ k[i — h) t dh t 



1 T (1+ / i)2 v/T ' ?* *~ 2A (i -+- />) ' 51 ; 



