T)F.I DETERMINANTI \ MATRICE MAGICA 175 



sulla verticale, o l'orizzontale, clic divide in metà il quadrato ; elemento centrale si 

 dirà quello posto al rincontro delle due linee ora cerniate. Si diranno verticali simme- 

 triche, ed orizzontali simmetriche, le lince equidistanti dalla centrale della stessa de- 

 nominazione, e si diranno elementi simmetrici quelli, clic corrispondono all'incontro di 

 linee simmetriche, ma che non sono posti sulla medesima verticale, od orizzontale. Cosi 

 nel quadro (A) il numero 113 ò l'elemento centrale; i numeri 80, 14G sono simme- 

 trici, e parimente sono simmetrici i numeri 188, 38. 



Gli elementi sulla verticale, o l'orizzontale centrale, equidistanti dall'elemento cen- 

 trale, sono anch'essi simmetrici; giacché l'ima linea, e l'altra, puossi riguardare come 

 due verticali, o due orizzontali simmetriche coincidenti. 



II. 



Dei quadrati magici , che dovremo contemplare , oltre della proprietà fonda- 

 mentale inerente alla loro definizione , cioè di essere costante la somma degli ele- 

 menti posti in linea verticale , od orizzontale , od in diagonale , e questa somma e- 



gualeadra (a -i ^— S j se n è l'ordine, o la radice del quadrato, vuoisi notare 



le proprietà seguenti : 



a) Gli elementi della verticale centrale, considerati nell'ordine successivo dall' alto 

 in basso , compongono una progressione aritmetica avente per differenza (n -+- 1) S i 

 per primo termine a -+- S , per ultimo a -+- nr S , e per medio , o elemento centrale 



1 + n 2 

 i = a. -\ — S<, i tre termini ora menzionati sono quelli stessi di tale denomina- 

 zione della progressione componente l'intero quadrato magico. 



b) La somma di due elementi simmetrici é eguale al doppio dell'elemento centrale h 

 quindi le differenze fra questa quantità, e ciascuno dei due elementi simmetrici, sono 

 eguali in valore assoluto, e di segno contrario. Da ciò deriva che se dagli elementi 

 di due linee simmetriche si sottrae l'elemento centrale e, e si prende le differenze in 

 una linea con segni opposti alle corrispondenti dell'altra linea, le due nuove linee 

 cosi composte conterranno rispettivamente i medesimi elementi, ma succedendosi in 

 ordine inverso dall'alto in basso se sono due verticali simmetriche, e da sinistra a 

 destra se trattasi di due orizzontali simmetriche. 



e) Da questa proprietà puossi inferire che, prese le differenze fra gli elementi cor- 

 rispondenti di due verticali successive di quelle poste a destra della verticale cen? 

 trale, e parimente operando su due verticali successive poste a sinistra, cioè che sono 

 simmetriche alle precedenti, prendendo però le differenze di sinistra con segni opposti 

 a quelle di destra, si otterrà due nuove verticali simmetriche composte da' medesimi 

 elementi, l'una rispetto l'altra, ma succedendosi in ordine inverso dall'alto in basso. 



d) Dal modo di formazione dei quadrati magici da noi assunto risulta eziandio che 

 le differenze fra gli elementi corrispondenti di due verticali successive testé cennate, 

 cioè gli elementi delle nuove verticali sopra designate, non possono essere che, uno 



