176 DEI DETERMINANTI A MATRICE MAGICA 



eguale ad (n* — n — 2) §, due ciascuuo eguale a — 2 S, e tutti gli altri eguali ognuno 

 a —(n+"Ì)S. Di questi elementi il primo in alto, e l'ultimo in basso, sono sempre 

 — (u -+- 2) 8; l'ordine di successione degli altri si può facilmente ravvisare meditando 

 sul, quadro (A), facendo attenzione particolare agli scacchi , che a tal' uopo abbiamo 

 circondato di linee. 



e) Se dagli elementi di una verticale estrema di destra, o di sinistra, si sottraggono 

 gli elementi corrispondenti dell'altra, le differenze saranno quelle stesse poc'anzi de- 

 signate, però agli estremi in alto , ed in basso si avrà — 2 8 , nello scacco centrale 

 (ri* — n — 2) 8, ed in tutti gli altri — (n-\- 2) S. 



f) Se dagli elementi della verticale estrema di destra si sottraggono gli elementi cor- 

 rispondenti della verticale centrale, si avrà per la differenza in alto I — — il 5 ? 



le altre differenze, considerate sempre dall'alto in basso, saranno in metà ognuna e- 



guale ad ^ —8, e nell'altra metà ciascuna eguale a — I — —~ — ~+~ * I s • 



Osservazione — Si sa che senza cangiare la disposizione rispettiva degli elementi 

 di un quadrato magico, si può presentarlo di otto maniere differenti, cosi al quadrato 

 di 3 puossi dare le otto posizioni qui appresso : 



8 



1 6 



6 1 8 



4 9 2 



2 9 4 



3 



5 7 



7 5 3 



3 5 7 



7 5 3 



4 



9 2 



2 9 4 



8 1 6 



6 1 8 



834 672 438 270 

 159 159 951 951 

 672 834 2 76 438 



Queste differenti posizioni possonsi ottenere con iseambl delle linee simmetriche dello 

 stesso nome, o dietro cotali scambi invertendo ordinatamente le verticali in orizzon- 

 tali. Considerando i quadrati magici nelle accennate differenti posizioni, ed avuto in 

 riguardo la disposizione da noi assunta come pel quadro (A) , si rileverà facilmente 

 le modificazioni occorrenti alle denominazioni, ed all'espressioni delle proprietà a) e) d) 

 e) f) correlative. Intorno ai determinanti corrispondenti alle differenti posizioni di 

 un quadrato magico poc' anzi designate giova osservare, che il valore assoluto di un 

 determinante resta lo stesso col cangiare di posizione della matrice; il segno però 

 resterà invariato, o cangerà, allorché la differente posizione deriva da scambi tra le 

 linee simmetriche dello stesso nome, secondochè il numero totale degli scambi è pari, 

 od impari. 



