180 DEI DETERMINANTI A MATRICE MAGICA 



sostituendo successivamente l' unità a tutti gli elementi di ciascuna verticale ; onde 

 due qualunque non differiscono fra loro che rispettivamente per una sola verticale, 

 epperciò possonsi comporre in un solo determinante; pertanto praticando la riduzione 

 degli n determinanti al numero n — 1, e quest'ultimi poscia al numero di n — 2, e 

 cosi di seguito, si perverrà a trovare l'unico determinante eguale ad S. 



Per giungere ad una forinola generale rappresentiamo simbolicamente un determi- 

 nante qualunque con (a, b, e....), dove a, b, e, non indicano quantità , ma sibbene 



sono l'espressione simbolica del complesso di ciascuna verticale; ciò posto, supponia- 

 mo n = 9, epperciò supponiamo che per S si abbia il seguente sistema : 



(1, b, e, d, k, s, t, u, v) -+- (a, 1, e, d, k, s, t, u, v) -+- (a, b, 1, d, k, s, t, u, v) 

 -+- {a, b, e, 1, k, s, t, u, v) -+- (a, b, e, d, 1, s, t, u, v) -+- (a, b, e, d,k, 1, t, u, v) 

 -+- (a, b, e, d, k, s, 1, u, v) -+- (a, b, e, d, k, s, t, ì, v) -+- {a, b, e, d, k, s, t, u, 1). 



Il terzo, ed il quarto determinante possonsi comporre in un solo; parimente il sesto, 

 e settimo; onde dietro tale riduzione, e trasformando opportunamente gli altri deter- 

 minanti, si può a luogo del sistema precedente contemplare il qui appresso : 



(1, b, e, d — e, k, s — t,t, u, v) -+■ (a, 1, e, d — e, k, s — t, t, u, v) 

 -+- (a, b, 1, d — c,k, s — t, t, u, v) -+- (a, b, e, d — e, 1, s — t, t, u, v) 

 -+• (a, b, e, d — e, k,s — t, 1, n, v) + (a, b, e, d — c,k,s — t,t, 1, v) 

 -t- (a, b, e, d — c,k,s — t, t, u, 1). 



Componendo fra loro il secondo di questi determinanti col terzo , ed il quinto col 

 sesto, indi trasformando opportunamente gli altri, si può dedurre 



(1, b, e — b, d — c,k,s — t,t — u, u, v) -+- (a, 1, e — b, d — c,k,s — t, t — u, u, v) 

 -f- (a, b,c — b, d — e, 1, s — t, t — u, u, v) ■+■ (a,b, e — b, d — c,k,s — t,t — u, 1, v) 

 -+- (a, b,c — b, d — e, k,s — t, t — u, u, 1). 



A questo sistema a sua Tolta, riducendo tra loro il primo determinante col secondo, 

 ed il quarto col quinto, e dietro opportune trasformazioni, si può sostituire il seguente 



(1, b — a, e — b, d — c,k, s — t, t — u, u — v, v) 

 -+- (a, b — a, e — b, d — e, 1, s — t, t — u, u — v, v) 



-+- (a, b — a, e — b, d — e, k, s — t, t — u, u — v, 1). 



