DEI DETERMINANTI A MATRICE MAGICA 181 



Componendo il primo determinante col terzo, e trasformando convenientemente il 

 secondo, si ricava dalla precedente espressione 



(a — v, b — a, e — b, d — e, le, s — t, t — u, u — v, 1) 

 + (a — v, b — a, e — b, d — e, 1, s — t, t — u, u — v, v); 



e questi due determinanti si riducono al solo 



(« — v, b — a, e — b, d — e, \, s — t, t — u, u — v,v — le), 

 che si può presentare altresì come appresso : 



(— 1)' x (1, v — le, v — a, a — b, b — e, e — d, s — t, t — u, u — v) (5). 



Potendosi estendere il ragionamento da noi seguito pel caso di n = 9, al caso ge- 

 nerale di n qualunque , si dedurrà un' espressione simile alla (5) , cioè la seguente 

 legge: 



Alla somma 8 nella relazione (3) puossi sostituire unico determinante , che si ot- 

 terrà dal P : rimpiazzando 1 agli elementi della prima verticale a sinistra; la seconda 

 verticale si comporrà dalla differenza tra la verticale estrema di destra, e la verticale cen- 

 trale; si avrà la terza verticale prendendo la differenza tra l'estrema verticale di destra 

 e l'estrema di sinistra ; tutte le altre verticali si otterranno prendendo le differenze 

 fra due verticali successive del menzionato determinante P, esclusa la verticale cen- 

 trale; il nuovo determinante dipoi dev'essere moltiplicato pel fattore ( — l)" -2 , 



IV. 



Ritorniamo a contemplare i determinanti a matrice magica; in questo caso nel de- 

 terminante B, onde uniformarci alle indicazioni date nel § I, bisogna sostituire a ad a, 

 5 a d; gli elementi m t , s sono i numeri naturali da 1 ad n 2 disposti in quadrato ma- 

 gico, e quindi P, formola (4) , è il determinante del quadrato magico a numeri na- 

 turali di ordine n. 



Ciò posto , se nella relazione (2) a luogo di p si sostituisce 1' elemento centrale 



1 -+- ti 1 

 £ = — - — di P, il secondo termine del primo membro della cennata relazione , o 



meglio il determinante 



D' = 



m 1,* ~~1 ) > m i,t — 1 } m t,n — P 



m ì,\ — Ih llh.ì — P n h,H —P 



m n< , —p, m n2 —p m nn —p 



Giom. di Scienze Katur. ed Econom. Voi. I. 



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