182 BEI DETERMINANTI A MATRICE MAGICA 



si annulla. In fatti dalla proprietà mercata b) nel § II risulta che, dietro tale sosti- 

 tuzione, le verticali simmetriche di D', prese a sinistra rispettivamente con segni op- 

 posti a quelle di destra, saranno composte dai medesimi clementi , ma succedendosi 

 in ordine inverso dall'alto in basso; risulta eziandio che gli elementi sulla verticale 

 centrale equidistanti dall'elemento centrale saranno eguali, e diseguo contrario; quanto 

 all'elemento ora menzionato è nullo, giacché il sostituire p = e in D' vale lo stesso, 

 che supporre eguale a zero l'elemento centrale di quel determinante; dopo queste os- 

 servazioni, e posto n = 2 m -+- 1 , si può dunque rappresentare D' trasformato come 

 appresso : 



D> 



a' a" 



d m \ 



— U, t^ t" V 



b> &".... 



¥">), 



— V, S< m ) S" S' 



h' h"..„ 



U m \ 



— 3, IW 1" ì 



Jd V 



tt m \ 



0, *W k" k' 



Il VI 



V V tinti 



iw, 



H-*,'W») h"h' 



s' s" 



fiM, 



-hv, &< m > b" b' 



fi fi 



V V ...1. 



tt m \ 



+ u, aW a!' a' 



(6) 



Che si sviluppi questo determinante secondo gli elementi della sua verticale cen- 

 trale moltiplicati pei rispettivi complementi algebrici, sarà facile osservare, che dei 2 m 

 termini cosi ottenuti i primi ni sono eguali, e di segno contrario agli altri ni termini 

 presi in ordine inverso; i medesimi perciò a due a due rispettivamente si distruggono, 

 e l'espressione di D' è identicamente nulla. 



In conseguenza di questa proprietà importante per la menzionata relazione (2) si ha 



D 



_ (. + ì + * , ) ,- s 



(7). 



•Se in questa espressione ponghiamo « = 0, S-= 1 , e perciò D = P, si ottiene 



S, e per la stessa relazione (7) 



J = 2«-Hl + nV 



1 -+- ii- 



donde s'inferisce che il calcolo dei determinanti I) a matrici magiche di ordine ini- 



