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1. Si l'on transforme le théorème du n° 2, § I, par les 
polaires réciproques, la sphère œ étant la sphère direc- 
trice, on obtient le théorème suivant : 
En un ombilic À d'une quadrique, on décrit une sphère 
sur le rayon de courbure comme diamètre, et par une 
droite quelconque du plan à tangent en À, on mène deux 
plans b et e tangents à la sphère et à la quadrique; le plan d 
tel que 
(abcd) = — 1 
passe par un point fixe Q. 
Il suffit évidemment de faire voir que les sections 
normales au point A de la nouvelle quadrique ont pour 
centre de courbure en ce point l’extrémité æ du diamètre Aa 
de la sphère œw. Or la sphère œ a pour polaire réciproque 
un paraboloïde de révolution ayant pour foyer le centre 
de la sphère oa, Le centre de courbure des sections 
normales au point A de ce paraboloïde est done a ` mais 
ces dernières ont un contact du second ordre avec celles 
de la nouvelle quadrique; le théorème est donc démontré. 
2. Cette propriété montre qu’une quadrique est déter- 
minée par un ombilic A, le plan tangent et le rayon de 
courbure en ce point et par trois plans tangents. Car ces 
données permettent de déterminer le point O et ensuite 
autant de plans tangents à la surface qu’on le veut. Pour 
avoir le point de contact d'un de ces plans tangents, on 
remarquera que les points de contact de deux plans 
