﻿64 Lorenz Zmurko. 



BC-\-A sin 3« CA-]-B sin 2ß ÄB^ sin =y 



(4) i)/=: 



cos a cos ß cos 7 



. , 7i-l-(7 cos a C-\-B cos a 



sm ^a = = ■ — 



cos ß cos 7 



. ,^ C+^ cos ß yl+(7cos,3 



sm "ß = = 



cos 7 cos a 



A-\-B cos 7 i>-l^^ cos 7 



sm "Y 



(5) oder 



cos a cos |3 



sin '^a cos ß — i? — C cos a = sin 'a cos ^ — C — B cos a ==: 

 sin "^ß cos Y — G — Ä cos ß = sin -ß cos a — -A — C cos ß == 

 sin -y cos a — Ä — B cos y = sin "y cos ß — B—A cos y = 0. 



Von den Bestimmungsarten eines Punktes im Räume. 



Von den Coordinaten eines auf ein in (1) beschriebenes Axensystem bezogenen Punktes, 

 • wollen wir hier hauptsächlich zwei Sorten unterscheiden: 



I. Die ersteren erhalten wir, wenn wir durch den gegebenen Punkt m drei Ebenen 

 Ej/i/Oz'^ E^/fzOx', Ej/xOy legen, und die hiebei auf den Axen Ox, Oy, Oz sich ergebenden 

 Durchschnittspunkte jo„p2,^3 als Endpunkte der vom Ursprünge auslaufenden Axensegmente 

 X = Opif y = Op^, z = Opg charakterisiren. 



(6) Die so erhaltenen Coordinaten xyz nennen wir Parallelcoordinaten des Punktes m, oder 

 schlechtweg Coordinaten dieses Punktes. Sie bilden die in den Eichtungen Ox, Oy, Oz genom- 

 menen Distanzen des Pimktes m von den Ebenen yOz, sOx, xOy. 



Aus den Längen xyz kann man die Lage des Punktes m auf mehrere Arten bestimmen: 



a) Ein im Ursprünge liegender Punkt bewege sich dem Vorzeichen des x gemäss längs 

 der Axe Ox bis zum Endpunkte p^; von da aus bewege er sich dem Vorzeichen von y gemäss in 

 einer zu Oy parallelen Eichtung um die Länge =^y\ von dem so erreichten Orte bewege er 

 sich dem Vorzeichen von z gemäss in der zu Oz parallelen Richtung um die Länge = z^ um 

 so in die Lage des durch xyz bestimmten Punktes zu gelangen. 



b) Eben so wird man durch folgende Bewegung vom Ursprünge aus den Punkt auf fünf 

 verschiedene Arten erreichen können, wenn man nach einander in der successiven Verwen- 

 dung der gegebenen Coordinaten die Anordnungen: xzy^ yxz\ zxy\ yzx\ zyx beobachtet. 



c) Man lege durch die Endpunkte von Opi^x; 0^2 = ^5 0^3 = s die Ebenen: 

 Ej/yOz-^ Ej/z<dx] Ej/xOy, und erhält den verlangten Punkt als Durchschnitt dieser drei 

 Ebenen. 



Die vom Ursprünge bis zum Punkte m reichende Länge = r heisst der Fahrstrahl, und 

 bildet mit jeder der Coordinatengruppen, deren Sinn und Verwendung in a) und h) beschrie- 

 ben wurde, ein geschlossenes Viereck mit den entsprechend angeordneten Seiten (xyzr). 



IL Die Coordinaten der zweiten Art erhält man, wenn man durch den gegebenen 

 Punkt m drei Ebenen E^\_Ox, E^J^Oy^ E^\_ Oz legt, und die sich hiebei ergebenden Punkte 

 Pipipz dadurch kennzeichnet, dass man dieselben als Endpunkte der Axensegmente 



(7) x^= Op[, y =^ Op^, z=: Ops betrachtet. Der Übergang von den gegebenen xyz zum entspre- 

 chenden Punkte m ist einleuchtend. 



