﻿tlber die Flächen zweiter Ordnung etc. 65 



Die Coordinaten dieser Art heissen orthogonale Coordinaten und bilden die ortho- 

 gonale primäre, secundäre, tertiäre Componente des zu m gehörigen Fahrstrahles r in Bezug 

 auf die Axen Occ, 0?/, Oz. 



Bildet der zum Punkte m führende Fahrstrahl Ow = r mit den Axen die Winkel 

 mOx = X, mOi/ = |x, mOz^=v, so ist es klar, dass Messungszahlen, welche aus der Messung der 

 Coordinaten X'^z durch die zugehörige Fahrstrahllänge =r hervorgehen, die Cosinuszahlen 

 der Winkel X, [i, v vorstellen, und somit zu den Gleichungen 



(8) 



cos 1 cos fjt. cos V 



die Grundlage bilden. 



In analoger Weise vorgehend, werden wir die Messungszahlen, welche wir durch 

 (x:7^), (y.r)j (s:r) andeuten, die schiefen Cosinuse des Winkelsystems X, [ji, v nennen, und der 

 einfacheren Schreibweise wegen durch k^, k^^ k, bezeichnen, Veranlassung gebend zu folgenden 

 Relationen : 



X y z 



kj. k,j K^ 



X = rk^ 5 y = rky ; z = rÄ;, (9) 



k,=^{x\r); kyz={y'.r)', k,— {z:r). 



Hat man zwei Punkte im Eaume, und zwar den Punkt r)i mit den Coordinaten [xz/s] ; den 

 Punkt m! mit den Coordinaten [x'y'z'] ; die in der Richtung von m gegen m' hin aufgefasste 

 Distanz = 6 dieser Punkte, so ist es sehr leicht, die Parallelcomponenten = Parallelprojec- 

 tionen von 8 in Bezug auf die Axen Ox, 0?/, Oz, zu bestimmen. 



Es ist nämlich : 



die primäre Componente von o=jp^p[= Op\ — Ojp^=:^x' — x, 

 „ secundäre „ „ o =^2 j^g = Oj:)2 — ^P^^^y — Vi ^^^^ 



„ tertiäre „ „ o=p^p'^=z Ojp'z—Ojp^^=z —z. 



Man sieht wohl ein, dass eine parallele Verschiebung des Fahrstrahls 6 =z mm! im Eaume 

 zwar eine Änderung der Lage von m und m', hiemit auch eine entsprechende Änderung der 

 Coordinaten xyz und x'y'z! bewirken wird ; dass aber diese Verschiebung auf die Längen von 

 und seiner Componenten jp^Pi, 'P'i'P'it P^Ps g"^!" keinen Einfluss auszuüben vermag. 



Gelangt in Folge einer parallelen Verschiebung der Punkt m in den Ursprung 0, der 

 Punkt Tri in die Lage m!' mit den Coordinaten x"y"z!' und den entsprechenden Axenpunkten 

 p'i^pliPii so müssen wir dem Vorhergehenden gemäss folgende Gleichungen einräumen: 



a;"= Op'l =^Pip\ — {x'— x) = Ik^ 



y" = Ojh =i?2i?2 = {y'—y) = ^h ( ^ ^) 



2" — 0^2 = pzp'z = (s' — z) = ^k 



sobald man die schiefen Cosinuszahlen für die Richtung Om"//mm' mit k^., k^, k^ bezeichnet. 

 Man erhält auch: 



±Zl:=yjZl = £111^8. (12) 



Kx ky Kg 



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