﻿66 Lorenz Zmurho. 



Die schiefen Cosinuszahlen stellen demgemäss die Parallelcomponenten der in der Rich- 

 tung Orri' / /mifri abgeschnittenen Einheitslänge. 



Wenn man mittelst einer beliebigen Messeinheit die Zahlen h^^ h^^ k^ durch Längen dar- 

 stellt, auf den Axen Ox, 0?/, Oz die entsprechenden 'Segmente abschneidet, und nach (6) «j, h). c) 

 den zugehörigen Punkt P bestimmt, so erhält man die Richtung des Fahrstrahles OP//mm'. 



In diesem Sinne wollen wir die Cosinuse k^, k^, k^ von nun an Einheitscomponenten = 

 Richtungscomponenten = Richtungsfactoren = Richtungscoefficienten nennen. 



In vollkommen übereinstimmender Weise vorgehend, erhalten wir bezüglich der zweiten 

 Gattung von Coordinaten der Punkte m und m' folgende Gleichungen : 



(13) = ^ ^ := = 8 



cos X cos /A cos V 



sobald man annimmt, dass die Linie Om"//mm' mit den Axen Occ, Oz/, Oz die Winkel X, jx, v 

 einschliesst. 



Ein vom Ursprünge ausgehender Strahl L sei in Bezug auf seine Richtung durch (X;xv) 

 oder (kj^yk^) gegeben; ein in L liegender Punkt m habe zu Coordinaten {xyz) oder {xyz). In 

 der Ebene E, welche durch m geht und auf dem Strahle L senkrecht steht, denken wir uns 

 einen Punkt m mit den Coordinaten [xiy'z) oder (x'yz), so erhalten wir ein Dreieck Omrri^ 

 welches beim rechtwinkelig ist, und die Seiten Om=.T^ Om'=^r'^ m'm!='h besitzt. Die den 

 Strahl Om! in sich enthaltende Gerade L sei in Bezug auf ihre Richtung durch (X'fi'v) oder 

 {Ußji^ bestimmt. 



Aus dem Dreieck Omrd erhält man einerseits: 



(14) 



Om = Om' cos (LL') oder r = r cos {LL). 



Anderseits kann die Seite Om = r als Schlussseite eines Fünfeckes angesehen werden, 

 welches im Sinne (6) a) aus den Seiten [x'y'z'or] aufgebaut ist. Projicirt man die Seiten x'y'z'o 

 auf die Schlussseite Om = r, so erhält man : 



nr^\ r=x' COS (xL) +y' COS {y L)-\-z' cos (zL)-]-h cos {hr)^x' cos l+y' cos fi + s cos v + 8 cos^tc. 



Aus der Vergleichung von (14) und (15) hat man: 



r' cos {LL')= x' cos X + y cos [x + s' cos v 



cos (LL) = — cos X -f - cos fx -f ^ cos v 



hiemit 

 riQ\ cos (Z/L') = Z?! cos X + ÄJy cos (ji -f Ä;', cos V. 



Auch ist: 

 r-^ rj\ X cos X + 3/' cos |Ji + 2;' cos v = r. 



Für zwei Strahlen L und L würde man wie in (16) finden: 



cos [LL) = \ cos X' + ky cos ja' + k^ cos v', 

 hiemit 



ki^ cos X + k cos fi. + Ä;^ cos v = ä;^ cos X' -f ky cos fx' -f k^ cos v'. 



(18) 



(19) 



Fällt der Strahl L in die Axe Ox^ so hat man X'=: 0, ]j'=y, v'=ß, ^1= 1, ä;^=:Äj^! = 0, 



daher aus (19): 



