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Über die Flächen zweiter Ordnung etc. 67 



cos \=z\ -\- ky cos Y + ^3 cos p, 

 eben so 



cos ^=^k,j -\- k^ cos a + k^ cos y 



cos V = A;^ -f Ä;^ cos p -|- ^s, cos a. 



Aus (20) findet man mit Rücksicht auf die Relation (4) und (5) : 



Mk^ = sin ^a cos X — C cos (x — i? cos v 



Mky = sin ^ß coc [x — J. cos v — G cos X (21) 



31k^ = sin 'y cos v — 5 cos X — ^ cos [x. 



Ist in (18) ^||i^', so erhält man: 



/^^ cos X -f Ä;^ cos [x 4- ^^^, cos v = 1. (22) 



Wenn man die Gleichung (20), (21) Glied für Glied mit r multiplicirt , und dann die 

 Producte rk^, rk^, rk^, r cos X, r cos {x, r cos v beziehungsweise durch x, y,z] x^y,z ersetzt, so 

 erhält man folgende Relationen: 



x = x ^ y cos Y -f 3 cos ß = [a?] ^ [[x)yz\ 



y =y ^ z cos a + a? cos y = [ll] = [^{y)^] (23) 



2 = s 4- a: cos ß + ;?/ cos a = [0] = [a;?/(s)] : 

 Mx = sin ^ax — Cij — Bz = [x]^ [{x)yz) 



My = sin ^^{j—Az— Gx = [y] = (x(y)z) (24) 



Mz = sin ^Y'S — S^ — ^y = \^) = {^y(ß))j 

 eben so erhält man aus (22), dieselbe beiderseits mit r^ multiplicirend : 



r'^=xx-^ yy-\- zz, (25) 



hieraus mit Rücksicht auf (23) und (24) 



r' = [x]x+[y]y-^[z]z 

 und 



Mr' = {x)x-{{i/)i/+{ä'A (26) 



In der Gleichung (17) ist r = Gm eine constante Länge vom Strahle L, welcher mit den 

 Axen die Winkel X, |x, v einschliesst, und auf der durch m gelegten Ebene E senkrecht seht. 

 Die Entstehungsweise der Gleichung bringt es mit sich, dass sie für jeden in jE liegenden Punkt 

 m' erfüllt wird. Dass diese Gleichung durch einen ausserhalb der Ebene E liegenden Punkt a 

 nicht erfüllt werden kann, überzeugt man sich auf folgende Weise: 



Denke man sich durch a eine zu Gz parallele Gerade gelegt, welche die Ebene Ein m" und 

 die Ebene xGy im Punkte o" durchstösst; sind nun (x"y"z") die Coordinaten des Punktes m", 

 so erhält man zur Bestimmung des Punktes a. . .x = x", y=y"-^ z =a"7n" ±m"Q= (z" ±m"a) 

 je nachdem der Punkt a oberhalb oder unterhalb der Ebene E angenommen wurde. 



Die Gleichung (17) wird durch den Punkt m" ganz sicher erfüllt; sollte diese Gleichung 

 auch durch den Punkt a in Erfüllung gehen, so müssten wir die Coexistenz folgender zwei 

 Relationen einräumen: 



r = x" cos A + y" cos fx + 2," cos v • 



r ■== x" cos A 4- y" cos |x + (s" ± m"a) cos v 



was nur dann möglich ist, wenn die Länge m"ii eine NulUänge ist, wenn somit m" und a 

 zusammenfallen ; wenn schliesslich a im £ zu liegen kommt. 



