﻿über die Flachen zweiter Ordnung etc. 69 



Elementen einem einfachen in (30) ersiclitlichen Permutationsgesetze unterwirft. Der kürzeren 

 Schreibweise wegen wollen wir künftighin von solchen drei Gliedern blos eines hinschreiben, 

 die übrigen zwei hingegen durch das Symbol -f <^ ersetzen. 

 Demgemäss ist aus (30) 



ö = [aßY, xyz,. .] + &. (31) 



Den eben erklärten Klammerfassungen, und der Deutung des Symbols & gemäss, können 

 wir die in (18), (22) und (26) angeführten Resultate folgendermassen hinschreiben: 



cos (LL') r= ÄJ^ cos X' + & = /t;^ cos X -f & = ^^[A;^.] + & = /4[A;^j + & 



(cosX) cos A'-|-& (cosA') cos A-f-& 

 cos (LL') = — -^^ -— ^ (32) 



= fe^v^. -)- cos o.{kJt, -f Icyh,^ -f & = [jcos \ cos X' sin ^a — ^(cos jx cos v' + cos jx' cos v) + &] • -^• 



Nimmt man L/JLi i so braucht man in (32) nur die Striche bei r X, \x, v wegzulassen, um 

 folgende Relationen zu erhalten: 



cos A ('c0sA)4-& , rv T o ^ ,^-,s 



k,GosX-\-& = ''—-^^^— = kJ^^k,]-i-&:=l, (33) 



eben so 



[kl -\-2k^k^ cos a]-\-& = |[cos 'A sin -(x—2Ä cos |x cos v] + &| : Mi= 1, 

 ferner ist: 



r^ z= x^ -\- y- -j- z^ -}- 2 cos a.yz-\-2 cos ^.zx-\-2 cos •{ .xy =:x[x]-\-& = [x'^-\-2 cos a.yz]-\-& = 



= [x^ sin 'a + f sin '^ + z' sm''^—2Äyz~2Bzx—2Cxy] : M= [x{x) + &] : Jf = (34) 



= [(x^ sin ^a— 2^5^^) + &] : ilf ; 



füi* zwei Punkte [iCiZ/jSj]; \^2y2^2\ ^^'^ man zur Bestimmung der Richtung ihrer Distanz liuie = 



K=[^2—Xi]'''^'i ^y = [3/2— J/i]:o; Ä:, = [s,— Si]:o, 

 hiemit nach (33) 



[{x^ — x^)[x^_ — a;J-|-&] :W = 1 ; (35) 



hieraus mit Rücksieht auf (29) 



h' = (x-x,) [x—x;\ + & = '^^^ . ''^'~^''' + & = (A.-xO(^^o+& 



Eben so erhält man für die Punkte [x\y[z[]-^ [x'zI/Wi] 



k', = [x'2—x\]:o; kl = y^_—y[]:b'; k'^ = [z',—z[]:o, 

 hiemit 



o'- = (Xj — x[) [x'o — x[] + & = [ (a;!, — x^) (x'^ — x[) 4- &] : ^/ ( 3 Ö ) 



und 



öö' . cos (o, o') == (x, — Xi)[.'4 — ^ij + & ;= (^x'2—x[)[xo — a^ij -f- & ^ 



^ ii7 ~ M ■ (3') 



Eine aufmerksame Prüfung der mannigfachen Formen der eben aufgestellten Resultate 

 verleiht dem Leser genügende Gelegenheit, um in der Handhabung der von uns adoptirten 

 Symbolik sich die erwünschte Fertigkeit anzueignen. 



