﻿70 Lorenz Zmurho, 



Analytische Darstellung der Geraden und der Ebene. 



Geht die Gerade L durch den gegebenen Punkt m mit den Coordinaten (^, yj, C), in einer 

 durch Ä;^, hy^ k^ angedeuteten Eichtung, so erhält man zur Bestimmung der Coordinaten x, ?/, z 

 irgend eines in L liegenden Punktes P, die Distanz mF=zr setzend, nach (12) folgende 

 Relationen : 

 (38) a:~z + rk^; ^j = 'ri\-rhy\ z — ^^r\. 



Bestimmt man den Werth von r aus der dritten, und führt denselben in die erste und 

 zweite ein, so erhält man : 



(40) Nimmt man hier 6 = a, >J := b, C ^ 0, und wählt die Zahlen 51, 35, ^ so, dasa die Propor- 

 tion -— ^ --=-- = m stattfinde, so erhält man aus (39) : 



'^x '^y "^z 



(41) x = ~z^a\ y=: — s + b, 



also ein System von zwei coexistenten Gleichungen des ersten Grades, welche für ein beliebig 

 angenommenes z die Werthe der entsprechenden x und y liefern, und sohin auf einen in der 

 verlangten Geraden liegenden Punkt deuten. 



Ist also eine Gerade L durch Gleichungen von der Form (41) analytisch dargestellt, so 

 sieht man auf den ersten Blick, dass diese Gerade in dem Punkte (aj = a, ?/ = b, s =: 0) die 

 Grundebene xOy durchdringt. Die Richtung von L wird aus der Relation (40) in folgender 

 Weise ermittelt. 



Aus (40) ist etwa: ■ • 



K = -, somit [K] = '^ und K[K] = ^ 5 



dann ist: 



Ä;.[y + & = 1 = |5l[9l] + 33 [53] + (E[^ : m^ 



und auch 



31 35 6 



m' =:%[%] + &', K = ~', ky=-', k=^ 



U2) m m m 



. [31] [S] [ej 



eos A = — - ; cos fi = — - ; cos v = — - . 



m 



31' 95' 



Ist eine zweite Gerade L' durch [x = — z-\-a' ', ^ = T^^ + b'j gegeben, so erhält man nach 



(16) und (42) 

 (43) cos (LL') = ^l31U& ^ 3t'[3l]+& ^ 3I'[3I]+BV%1+^'[6] 



mm' mm' mm' 



hier ist wie in (42) W = 3t'[3l'] + &. 



3t 31' 31 m . 



Soll L//L' sein, so müsste k^=:k'^ = — = — , somit -i- = — sein, und schliesslich folgende 



m m' W m' 



Relationen stattfinden: 

 UA\ rT//r'i 3195 gm 31 81' 95 95' 



