﻿74 Lorenz Zmurho. 



Über die g-eometrische Bedeutung einer Gleichung" des zweiten 



Grades zwischen drei Variablen. 



§• 1. 



Die vollständige Gleichung des zweiten Grades zwischen x , y , z lässt sich in folgender 

 Form schreiben : 



(1 ) u^= ax" + hf + cz^ + 2cbyz + 2h' zx + 2c xy + 2a" x + 2h" y + 2c" z + c/ = 

 oder 



(2) u.^ = xT^-\-yT,^ + zT,-\-T^ = 

 sobald man: 



T^ z= ax -f c'y -(- h'z + a" 



(3) 



Ty ^=hy -\- dz -\- ex -j- 6" 



X 



T =zd'x^})'y^cz-^d 

 sein lässt. 



Es soll nun die Bedeutung der Gleichung (1) für jede mögliche Zusammensetzung von 

 Werthen der in dieser Gleichung spielenden Coefficienten bei Zugrundelegung eines beliebigen 

 schiefwinkligen Axensystems erforscht werden. 



Vergleiche man das System der Punkte (1) mit dem Verlaufe einer durch den erst später 

 näher zu bestimmenden Punkt (6, tj, C) gelegten Geraden, um zu erfahren, ob und welche 

 Punkte vorhanden sind, welche sowohl der Geraden als auch dem Systeme (1) gleichzeitig 

 angehören. Man findet zu diesem Behufe die Gleichung einer solchen Geraden, deren Rich- 

 tungs coefficienten h^^ h^, k^, aus den Winkeln A, [i, v gebaut sein mögen, in folgender Form: 



X — ^ y — Yj z — ^ 



\ / Kj. Ky tC^ 



wo r den Abstand vom Standpunkte (^, vj, C) aus bis zu dem in (1) liegenden Punkte andeuten 

 soll. Dieser umstand liefert uns zur ümstaltung der Gleichung (1) folgendes Schema: 



(5) x = l-\-r'k,', y = ri-\-r\; z = C-\-rk,. 



Die Einführung dieser Werthe in (1) gibt: 



/'6^ 5r^ + 2ifr-|-w> = 



sobald man die Werthe der Coefficienten s, t, u~_ aus folgenden für die Folge sehr wichtigen 

 symbolischen Bezeichnungen entnimmt, und M; nach (2) und (3) deutet. 



a\ ^-cky -\-h'k, = w^', h\ + d\ + dk^ =Wy; ck^ + h'k^-\-dk^ = w,, 

 , d'K + b"ky + d'k^ — q ; k^w^ + k^iOy + \w, = s 

 t =w^^+Wyri + wA^q = T^k^i- T^ky + T,h 



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