﻿tJbe7' die Flächen zweiter Ordnung etc. 79 



eine zulässige ist, dass schliesslich um einen einzigen Standpunkt herum eine in Drehung ver- 

 setzte Gerade die Fläche (1) beschreiben wird, sobald sie nur während der Drehung zu (20) 

 parallel verbleibt. 



Um jetzt zur allgemeinen Discussion zurückzukehren, nehmen wir die Gleichung (13) 

 vor und versuchen dieselbe unabhängig von der Sehnenrichtung k^. k^, k. zu erfüllen: dies 

 erreichen wir, wenn es uns gelingt für 6, >J und C solche Werthe zu finden, welche den 

 Eelationen 



genügen. 



Denkt man sich diese Gleichungen nach (3) ausgebaut, so findet man mit Kücksicht auf die 

 in (8) und (9) niedergelegten symbolischen Bezeichnungen: 



(32) 



^-~ N' ''~ JV' "~ N' i^^) 



Hieraus ist unmittelbar ersichtlich, dass für JV^ die "Werthe für 6, "/J, C in (33) voll- 

 kommen bestimmt und endlich ausfallen und die Gleichung (13) für jede beliebige Sehnen- 

 richtung erfüllen. Diese bestimmten Werthe deuten somit auf einen in endlicher Distanz vom 

 Ursprünge liegenden Punkt, welcher allen Diametral ebenen gemeinschaftlich angehörend, den 

 Halbirungspunkt einer beliebig gerichteten durch ihn gelegten Sehne ausmacht. Dieser Punkt 

 wird desshalb das Centrum der durch (1) dargestellten Fläche genannt. 



Die eben angeführte Eigenschaft dieses Punktes wird ins hellere Licht treten, wenn man 

 denselben zum Ursprünge eines neuen Coordinatensystems auserwählt und zum Behufe der 

 entsprechenden Transformation in der Gleichung (1) die Substitution: 



Q. 







Q. 







Qs 



N' 



y = 



=y- 



N' 



z 



z 



' N 



x = x 7^; v = v r^; z = z — (34) 



ausführt. Man gelangt hiedurch zu folgender Gleichung: 



ax'^ + bf + es" + 2a't/'z' + 2b'z'x' + 2cx'i/' — D = 0, (3 5) 



in welcher D nach (9) gebaut erscheint; und der Umstand, dass man in derselben die Vor- 

 zeichen von x', y, z gleichzeitig ändern kann, ohne die Gleichung zu stören, die eben erwähnte 

 Eigenschaft des Centrums zur Genüge befürwortet. 



Sind die Grössen Q^, Q^, Q^ von Null verschieden und iV^=0, so rückt der in (33) ange- 

 gebene Punkt in unendliche Ferne weg. 



Beim Stattfinden der Relationen (18) nehmen die Coordinatenwerthe in (33) die unbe- 

 'stimmte Form Yq an, sind somit in unendlicher Anzahl vorhanden. 



Beim paraboliscken Cylinder denke man sich die leitende Parabel als eine unendlich 

 gestreckte Ellipse, dann ist die durch den Ellipsenmittelpunkt gehende, zu den Ebenen (20) 

 und (24) parallele Gerade die Inhaberin aller dem parabolischen Cylinder angehörigen Centra. 



Bei zwei parallelen Ebenen ist die von denselben äquidistaute Ebene diejenige, welche 

 in sich alle Centra beherbergt. 



Mit Rücksicht auf die vorher ausgesprochene Auffassung des parabolischen Cylinders (36) 

 lässt sich derselbe als eine Rotationfläche darstellen, welche entsteht, indem man die unendlich 

 gestreckte Ellipse, welche als Durchschnitt mit einer auf die Cylinderkante senkrechten Ebene 



