﻿86 'Lorenz Zmurho. 



In dem vorstehenden Tableau ersehen wir aus den Formen der ersten sechs Gleichuno-en, 

 dass die ihnen zugehörigen Flächen durch fortschreitende Bewegung je einer Kegelschnitts- 

 linie, die passend gewählt ist, erscheinen. Bei dieser Bewegimg ändern sich die conjugirten 

 Axenstücke des fortschreitenden Kegelschnittes unablässig, stehen in Beziehung zu einander 

 stets im constanten Verhältnisse; und während jede von den Axen sich parallel verschiebend 

 in einer ihr zugehörigen Ebene verbleibt, beschreibt ihr Endpunkt ebenfalls eine Kegelschnitts- 

 linie, welche wir die Leitlinie der Bewegung nennen wollen. Die bewegliche Kegelschnitts- 

 linie können wir durch ein System von ähnlichen Kegelschnittsscheiben ersetzen und erhalten 

 dann durch gehörige Aufschichtung derselben, innerhalb der zugehörigen Leitlinie einen 

 Körper, dessen Oberfläche die in Rede stehende Fläche desto besser darstellt, je dünner man 

 die einzelnen Scheiben gewählt. 



1. In E^ sind die beiden Leitlinien Ellipsen. Man erhält aus E^^ ihre Gleichungen dadurch, 

 dass man einmal x= 0, das andere Mal y == in der Flächengleichung setzt. Die erzeugende 

 Ellipse bewegt sich mit ihrem Centrum längs der Axe Os dergestalt, dass ihre Axen in dem 

 Maasse abnehmen, je entfernter die Ellipse von der Ebene xOy sich befindet. 



Für z = + w wird jede Axenlänge gleich. Null. 



Die so erzeugte Fläche schliesst einen endlichen Eaum ab und heisst die Ellipsoi'dal- 

 fläche. 



2. Für x^O erhalten wir aus E^ die erste, für y=:0 die zweite Leitlinie, beide sind 

 Hyperbeln. Die Erzeugende eine Ellipse, deren Axen mit numerischen Werthen von z ins 

 Unendliche zunehmen. Die kleinsten Axenwerthe sind l, m, und gehören der in xOt/ liegenden 

 Ellipse an, welche den Namen Kehlellipse trägt. Die erzeugende Fläche heisst ein ellip- 

 tisches Hyperboloid und bildet eine einzige ununterbrochene Höhlung. Diese zu E^ 



(70) gehörige Fläche könnte man sich als Aufschichtung von Hyperbeln denken, welche mit ihren 

 Mittelpunkten entweder längs der Axe Ox zur Ebene yOz, oder längs der Axe 0?/ zur Ebene xOz 

 parallel fortschreiten und hiebei wieder an hyperbolischen Leitlinien gleiten. In den End- 

 punkten der Halbaxen ± l und + m erhalten die Axendimensionen der in der Aufschichtung 

 begriffenen Hyperbel NuUwerthe — und die betreffenden Hyperbeln gehen in je zwei Gerade 

 über, welche sich im Umfange der Kehlellipse schneiden. 



3. Für y = erhält man aus E^ die erste, für z = die zweite Leitlinie; beide sind 

 Hyperbeln. Die Erzeugende ist eine Ellipse, deren Axenlängen von Null bis ins Unendliche 

 zunehmen, während x von x = ± Z bis x = + cx) wächst. Innerhalb der Ebene x^l und x:^ — l 

 besitzt diese Fläche keine Punkte. Diese Fläche heisst das Hyperboloid mit unterbrochenen 

 Höhlungen, oder auch das getheilte Hyperboloid. 



4. Als Leitlinien sind bei E^ zwei gerade durch den Ursprung gehende Linien. Die Erzeu- 

 gende ist eine Ellipse, welche längs der s-Axe mit ihrem Centrum fortschreitet. Ihre Axen 

 wachsen von Null bis ins Unendliche, während x von Null bis + oo zunimmt. Die so erzeugte 

 Fläche heisst Kegelfläche. 



5. In E^ erhält man für x = die erste, für y:= die zweite Leitlinie ; beide sind Parabeln 

 und gehen durch den Ursprung. Die Erzeugende ist eine Ellipse, deren Axenlängen von Null 



bis ins Unendliche zunehmen, während — von Null bis +cx) zunimmt. Die betreffende Fläche 



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(70) heisst elliptisches Paraboloid. 



