﻿2 ^' 





m 



n 



z - 



x' 





— z 



Über die Flächen zweiter Ordnimg etc. 87 



JMan kann aber bei E--, die Erzeugende analytisch durch: 



und die Leitlinie durch: 



darstellen; dann erscheint das elliptische Parabolo'id als eine Aufschichtung von unendlich 



vielen dem Parameter — entsprechenden congruenten Parabelscheiben, welche zur Ebene zOy 



^ . . . . . . l- 



parallel liegen, und deren Scheitel im Umfange einer in der Ebene xOz mit dem Parameter — 



verzeichneten Parabel liegen. Hiebei besitzen die Durchmesser der erzeugenden und leitenden 

 Parabel eine übereinstimmende Eichtung. 



6. In Eq erhalten wir für x^^O die erste, für y = die zweite Leitlinie; beide sind Para- 

 beln mit entgegengesetzten Parametern. Die Erzeugende ist eine Hyperbel, welche in der 

 Ebene xOy Nulllängen zu Axen hat, und in zwei sich schneidende Geraden übergeht; von (70) 

 da an nehmen ihre Axenlängen ins Unendliche zu, w^ährend z von bis ± oo zunimmt. Hiebei 

 ist jedoch zu bemerken, dass beim Übergänge von positiven z zu den negativen die Axen der 

 erzeugenden Hyperbel der Art ihre Eolle vertauschen, dass die primäre Hyperbelaxe zur 

 secundären und die secundäre zur primären sich gestaltet. Diese Fläche heisst die Sattel- 

 f lache. Man kann übrigens die Sattelfläche als Aufschichtung von congruenten Parabeln 

 ansehen; man wird aber finden, dass die Durchmesserrichtung der erzeugenden Parabel zur 

 Durchmesserrichtung der leitenden Parabel entgegengesetzt gelagert ist. 



Was die übrigen Gleichungsformen anbelangt, so findet man sehr leicht, dass: 



E^ auf eine elliptische Cylinderfläche 



-Es 



J7 



„ hyperbolische „ 



E, 



V 



„ parabolische 



Eio 



•n 



^ Gerade 



En 



n 



zwei sich schneidende Geraden 



Ei2 



77 



,, parallele Ebenen 



Eis 



77 



eine einzige Ebene 



Eu 



77 



einen einzigen Punkt deuten, 



und dass endlich die Formen E^^, E^q, E^-, durch primäre Werthe von x, y, z nicht erfüllbar 

 sind, dass selbe softait in dem von uns beanspruchten Sinne keine räumliche Deutung zulassen. 



Aus der näheren Betrachtung der Gleichung der Kegelfläche geht hervor, dass dieselbe 

 eben so gut durch Aufschichtung von ähnlichen elliptischen wie auch durch Aufschichtung 

 von ähnliehen hyperbolischen Scheiben hervorgebracht werden kann. Hieraus geht weiter 

 hervor, dass die Kegelfläche durch passende Zerlegung in parallele Scheiben und durch 

 Wiederaufschichtung dieser Scheiben mittelst passender Leitlinien fähig sei, näherungsweise (71) 

 die Form einer jeden mit E^, E^, Es, E^, Eq bezeichneten Fläche zum Vorscheine zu bringen. 



In diesem Sinne könnte man die Kegelfläche näherungsweise als den räumlichen Träger 

 aller Gebilde der zweiten Ordnung ansehen. Dies gilt desswegen blos näherungsweise, weil 



