﻿88 Lorenz Zmurho. 



die lockere oder dichtere AufscMchtung der aus dem Kegel genomnienen Scheiben von der 



Leitlinie abhängig ist, welche zur Erzeugung einer verlangten Fläche benöthigt wird. 



Die Bedeutung der in Klammern gefassten Buchstabengruppen, welche aus der Reihe 



®, f», ^, ß entnommen, neben den im Tableau (69) angeführten Gleichungsformen angesetzt 



sind, ersehen wir in folgender Weise: 



® deutet auf die Fähigkeit der Fläche in Ellipsen, 

 ^ J5 j? « V V >: V Hyperbeln, 



^ „ „ „ „ ,, „ „ Parabeln, 



1/ „ „ „ „ „ „ „ oeraaen 



geschnitten zu werden. Die Richtigkeit der eingetragenen Gruppen wird aus der nachstehen- 

 den Consideration hervorleuchten. 



Wenn wir die in (70) angeführten Erzeugungsweisen der den 17 Gleichungsformen 

 entsprechenden Gebilde in Erwägung ziehen, so gelangen wir zur Überzeugung, dass jedes 

 dieser Gebilde sich so charakteristisch ausprägt, dass man umgekehrt aus der vorgefassten 

 Gestalt eines Gebildes nur auf eine einzige von den 17 Gleichungsformen zu schliessen 

 berechtigt ist. Hiebei muss jedoch stets der Umstand im Auge behalten werden , dass die 

 Grössen l, m, n primäre endliche und von Null verschiedene Grössen andeuten. 



Hieraus geht hervor, dass die Gleichung (1), welche bei gegebenen Coefficienten nur 

 auf eines von den 17 Gebilden zu deuten vermag, in Folge einer Transformation auf ein 

 beliebiges der conjugirten Axensysteme stets zu einer und derselben Gleichungsform führen 

 muss, und dass für verschiedene conjugirten Axensysteme blos die Grössen /, m, n quantitativ 

 verschieden ausfallen, ohne die Gleichungsform selbst zu alteriren. 



Da nun beim Übergange zu anderen und anderen conjugirten Axen die Diametralebene 

 eine beliebige Richtung anzunehmen vermag, so lässt sich daraus schliessen, dass die Species 

 der bei einem bestimmten conjugirten Axensysteme erhaltenen Parallelschnitte dieselben ver- 

 bleiben für jedes andere conjugirte Axensystem; — und uns genügend darüber belehren, — 

 welche Buchstaben in die erwähnte Klamm erfassung einzubeziehen sind , um hiedurch auf 

 alle möglichen der in Betracht stehenden Fläche angehörigen Schnittcurven hinzuweisen. 



Aus (70) 2. erfuhren wir, dass ein im Axenpunkte der Kehlellipse von E.^ liegender 

 Punkt den Ausgangspunkt bilde für zwei Gerade, welche in E.^ lagern. Diese Eigenschaft 

 kommt mit Rücksicht auf die eben gepflogene Auseinandersetzung einem jeden Punkte des 

 ungetheilten Hyperbolo'id's zu, weil ja ein jeder Punkt dieser Fläche als Endpunkt einer 

 conjugirten Halbaxe betrachtet werden kann. 



Auf gleiche Weise schliesst man, dass ein jeder Punkt der Sattelfläche als Durchschnitt 

 zweier in dieser Fläche enthaltenen Geraden angesehen werden kann. 



Nur bei der Kegelfläche scheint der Parabelschnitt sich nicht als ein Parallelschnitt 

 ergeben zu wollen. Er ergibt sich aber in der That in der Form von unendlich gestreckten 

 Ellipsen, als Parallelschnitt zu solchen Diametralebenen, welche zu einer der Kegelkanten 

 nahezu parallel sich gestalten. 



Schliesslich leuchtet zur Genüge hervor, dass man nur nöthig habe, die Transformation 

 einer vorgelegten Gleichung (1) blos in Bezug auf ein specielles, am leichtesten construirbares 

 conjugirtes Axensystem zu vollziehen, um der Kriterien habhaft zu werden, welche, von Fall 

 zu Fall aus den Werthen der in (1) spielenden Coefficienten, die Entscheidung herbeiführen, 

 welches von den 17 Ereignissen der vorgelegten Gleichung entspricht. 



