﻿94 Lorenz Zmurko. 



§. 3. 



Die im zweiten Paragraphen mitgetheilten Kriterien für je ein der Gleichung (1) §. 1 

 zukommendes Ergebniss sind von der speciellen Annahme des ursprünglichen Axensystems, 

 und namentlich der ursprünglichen Axenwinkel vollkommen unabhängig. Hieraus ergibt sich 

 der Schluss, dass die Gleichung (1) §. 1 stets zu demselben Ergebnisse führen muss, so lange 

 die in ihrem Bau einbegriffenen Coefficienten dieselben verbleiben, mag sonst das System 

 der ursprünglichen Axenwinkel ein beliebiges sein. 



Die aus der Beschaffenheit des ursprünglichen Axensystems abhängigen näheren Eigen- 

 schaften der einzelnen Ergebnisse werden ermittelt, wenn man die conjugirten Axenwinkel in 

 ihrer Abhängigkeit sowohl von den vorgelegten Gleichungscoefficienten, als auch von dem 

 ursprünglich zu Grunde liegenden Axensysteme einer gründlichen Erwägung unterwirft. 



Wenn es im Bereiche der Möglichkeit wäre, zu einem rechtwinkligen conjugirten Axen- 

 systeme zu gelangen, so Hesse sich das angedeutete Vorhaben ohne alle Zersplitterung in ver- 

 schiedene Fälle durch eine, auf alle Annahmen der Gleichungscoefficienten sowohl, als auch 

 der adoptirten Axenwinkel gleichmässig passende Untersuchung in Erledigung bringen. 



Wäre uns gelungen eine Diametralebene E" ausfindig zu macheu, auf welcher die zuge- 

 hörige Sehnenrichtung L' der Bedingung L"_\_E" genügt, so könnte man die vorgelegte 

 Gleichung auf ein neues Axensystem x'y'z' transforrairen, dergestalt, dass 0'z'//L" und dass 

 die Axen Ox' und 0?/' in der Ebene E" ihre Lage einnehmen. In der Transformationsgleichung 

 dürfen aus diesem Grunde die zur ersten Potenz von z' gehörigen Glieder nicht vorkommen, 

 und man ist berechtigt, dieselbe in folgender Form vorauszusetzen: 



(1) v,x"-{-v,f+ 2v;xy + 2v';x' + 2v,y' -\-G = 0, 



wo die Form von G etwa: 



G = v^z''^ -f- V ist. 



Die analytische Geometrie in der Ebene lehrt, dass diese Gleichung auf solche Axen 

 O'y", O'x" zurückgeführt werden kann, welche in E" liegen, und auf einander senkrecht stehen 

 und bewirken, dass in der transformirten Gleichung das Glied mit dem Producte x"y" nicht 

 vorkommt. Wir wissen auch, dass die Richtungen von O'y", O'x" von G und hiermit auch 

 von z' vollkommen unabhängig sich ergeben müssen. 



Das so entstandene Axensystem O'x", O'y", O'z" ist sicher ein conjugirtes, weil in der 

 betreffenden Transformationsgleichung die Coefficienten von x"y", y"z", z"x" nicht vorkom- 

 men; es ist gleichzeitig ein orthogonales, weil je eine der Axen O'x", O'y", O'z" auf den übrigen 

 zwei gleichzeitig senkrecht steht. 



Solche Eichtungen, welche auf der zugehörigen Diametralebene senkrecht stehen, heissen 

 Cardinalrichtungen, und wir können dem Gesagten gemäss folgenden Satz aussprechen: 



Wenn für die vorgelegte Gleichung eine einzige Cardinalrichtung 

 bereits erwiesen ist, so existiren für diese Gleichung wenigstens noch zwei 

 andere Cardinalrichtungen, welche in Verbindung mit der ersten ein con- 

 jugirtes orthogonales Axensystem bilden. 



Die Transformation der vorgelegten Gleichung auf ein orthogonales conjugirtes Axen- 

 system liefert uns die Gleichung in folgender Form: 



(3) sx^ + s'y^ + s"z' + 2qx' + 2^y -\- 2q"z ■\-dz=0, 



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