﻿über die Flächen zweitem- Ordnung etc. 05 



welche im Falle 5^0, s'^0 auch so geschrieben werden kann: 



f + |J+ \y + f J= -^-2j".-/'.H 7 + 7 = ■».. (4) 



Für s:=s' wird in der Gleichung (4) für jedes z eine Kreislinie charakterisirt, sobald 

 {P^:s)'>() ausfällt. Die betreffende Fläche entsteht durch Aufschichtung von Kreisscheiben, 

 deren Centra sämmtlich in der Geraden : 



enthalten sind. 



Diese Fläche könnte man sich durch Eotation einer passenden Curve um die Gerade (5) 

 entstanden denken, sie heisst desswegen in Bezug auf die Axe (5) eine Rotationsfläche. 

 Hier ist ersichtlich, dass die Annahme s=-s' uns zum Ausspruche berechtigt, dass jede 

 auf (5) senkrechte Richtung als Cardinalrichtung anzusehen ist, von denen je zwei auf ein- 

 ander senkrecht stehende in Verbindung mit (5) ein conjugirtes orthogonales Axensystem zu 

 liefern vermögen. 



Ist überhaupt die Richtung der Rotationsaxe durch die Winkel X^, {x^, v^ bestimmt, so 

 liefert jede der Bedingung k^ cos Xß-\-ky cos (x^+ä;^ cos v^^O Genüge leistende Richtung (6) 

 k^, ky, Ä;^, eine Cardinalrichtung und liefert stets denselben Werth für s. 



— d-\ :p^ und 5^0, so könnte man die 



Gleichung in folgender Form anschreiben : 



Die betreffende Fläche ist eine Kugelfläche, und jede Richtung kann in diesem Falle als 

 Cardinalrichtung angesehen werden. 



Die Cardinalrichtungen sind in diesem Falle an die Bedingung : 



Oh-\-Oky-^Ok, = ' (8) 



gebunden, und jede von ihnen liefert denselben von Null verschiedenen Werth für s. 



Eine flüchtige Betrachtung eines eventuell möglichen orthogonalen Axensystems bietet 

 uns also Anhaltspunkte um zu entdecken, ob die vorgelegte Gleichung einer Rotationsfläche 

 oder einer Kugelfläche angehört. Aber auch für andere der vorgelegten Gleichung eventuell 

 entsprechende Gebilde erreichen wir durch Transformation auf ein conjugirtes orthogonales 

 Axensystem einen diesem Gebilde jeweilig entsprechenden Normalzustand. Von da aus wird 

 es uns nicht schwer fallen, mehrere Flächen derselben Gattung in Bezug auf die Congruenz, 

 Ähnlichkeit, die Grösse der ihnen angehörigen Parameter, einer näheren Beurtheilung zu 

 unterziehen, und jede tiefere Erforschung eines beliebigen Gebildes kann von da aus in einer 

 völlig übereinstimmenden Weise vor sich schreiten. 



Aufsuchung der Oardinalrichtungen. 



Ist die Richtung von L durch k^, k^, k^, X, [x, v gegeben, so erhält man als Gleichung 

 einer auf L senkrechten Ebene : 



