﻿98 horenz Zmurko. 



setzend, 

 (21) s'H~sE oder (s'—s)H=0. 



Wollte man der Gleichung (15) complexe 5-Werthe, etwa: 



(22) s=:p-\-q]/ — 1 und s'=p — q]/ — 1 



zumuthen, so müssten wir folgerichtig für die Richtungsfactoren folgende Formen einräumen : 



k^ = m^ -\- Wj ]/ — 1 ; k'^ == m^ — n^ ]/ — 1 



(23) ^^ = ^2 + n^ V — 1 ; K = rn^—n^ V—^ 



Aus (23) finden wir: 

 und 



hiermit : 



(24) H= K[K] + & = ^[^i] + &} + [nWi + &}, 



weil der mit dem Factor j/ — 1 behaftete Theil sich so schreiben lässt: 



SeinunWi[mi] + &==df^; ^^[tzJ + &=c?'^, so ist <:? die Distanz eines dL\jLYQh.{x=m^^y=m^,z=m^ 

 bestimmten Punktes vom Ursprünge; eben so ist d' die Distanz eines durch (ic=:?^l,^/=W2,s=?^3) 

 bestimmten Punktes vom Ursprünge. — Dann ist: 



(25) H=d'-\-d\ 



Da nun die in (22) präsumirten Werthe von s und s' verschieden sind, so verlangt der 

 Bestand der Gleichung (21) das Nullwerden des Ausdruckes H^ was nur für d = d! =^0 

 geschehen kann. 



In diesem Falle müssten wir im Widerspruche mit den Eelationen: 



fc,[Ä;J+& = l; K[K] + & = 1 



die Satzungen: 



m^ = n^ = »^2 = Wg = m^ = n^ ^= k^. = k,^ = k.^ k'^ = k',^ = k'^= 

 zugeben. 



Hieraus folgt, dass die Annahme complexer s- Werthe auf einen Widerspruch führt, und 

 hiermit auch, dass die kubischen Gleichungen (15) und (17) nur primäre 5- Werthe zulassen. 



(26) Sind also zwei primäre Wurzeln s und s' von einander verschieden, so findet man mit- 

 telst (12) die Pich tungen der entsprechenden Strahlen, L, L' und mittelst der Gleichung: 

 eoB{LL') = k'JJc^]-\-&^= H, den von L und L' eingeschlossenen Winkel. 



Die Relation (21) verlangt wegen s^s' die Nullsetzung von H, und nöthigt zum Aus- 



(27) Spruche: Zwei Cardinalrichtungen L und L' stehen auf einander senkrecht, sobald die ihnen 

 zu Grunde liegenden s und s' von einander verschieden sind. 



