﻿über die Flächen zweiter Ordnung etc. 99 



Liefert die Gleichung (15) drei von einander verschiedene Werthe, s. s . s", so ist der von 

 jedem Paar der Strahlen L, L', L" eingeschlossene Winkel ein rechter. Diese Strahlen bilden 

 daher ein orthogonales conjugirtes Axensystem. 



Der Satz (2), auf die kubische Gleichung (15) angewendet, nölhigt uns zur Behauptung, 

 dass bei jeder Beschaffenheit der Wurzelwerthe s. s', s" wenigstens drei Cardinalrichtungen 

 existiren, welche ein orthogonales conjugirtes Axensystem liefern. Umgekehrt müssen die solchen 

 Axen entsprechenden Gruppen derRichtnngsbestimmungsstücke (k^, k^, k^), (Ä;^, k'^, k'.), (k'^, k'^, k'^) (28) 

 unter einander verschieden sein, und nur solche ä- Werthe s, s s" liefern, welche der cubischen 

 Gleichung (15) genügen. 



Die angeführten Gruppen aus den Kichtungsgrössen werden nur dann zum gemeinseliaft- 

 lichen 5- Werthe führen und die Gleichung 6==6'=-s" veranlassen, wenn die vorgelegte 

 Gleichung (1) §• 1 in Bezug auf ihre Coefficienten: a, 6, c, «', h\ c, fähig ist, auf eine Kugel- 

 fläche zu deuten, wenn somit die in (12) aufgestellten Bedingungsgleichungen mit der in (8) 

 coincidiren. 



Dieser Umstand verlangt aber unnachsichtlich die Erfüllung der Gleichungen:' 



(29) 



a — 5=6 — s=c — s=za' — s cos o.-=h' — s cos [3=c' — s cos y = 0, 

 woraus 



5 _ ^ _ 5 _ g _ "' _i ^' _ ^' 

 cos oc cos |3 cos 7 

 gefolgert wird. 



Dies sind also Bedingungen, welche erfüllt werden müssen, wenn überhaupt die Gleichung 

 (15) oder (17) drei gleiche Wurzeln liefern soll. 



Beim Stattfinden von (29) findet man aus (15): .P= '6aM\ q^'ia}M\ N= a'M und die 

 Gleichung selbst nimmt die Gestalt: 



M(s—ay = M{s—a}{s—a) (s—a) = 



an, beurkundend, dass jede von ihren drei Wurzeln denselben 5-Werth =: a besitzt. 



Auch hier sieht man, dass der Fall s = .s'=. <?"=() nicht eintreffen kann, weil sonst im 

 Widerspruche mit der vorgelegten Gleichung, wegen (29) die Satzung: 



sich ergeben müsste. 



Im Falle (29) erhält man für die Gleichungen (13) und (17): 



%,= % = (i,, = a, % = % = ^B,^% = (i,==(i, = (), (30) 



ein Umstand, der mit dem Vorhergehenden völlig übereinstimmt. 



. Um das Kriterium zweier gleicher Wurzeln s'=s zu erhalten, bedenke man, dass dieser 

 Umstand nur dann eintreten kann, wenn die gegebene Gleichung (1) §. 1 in Bezug auf ihre 

 Coeffizienten fähig ist, einer Rotationsfläche anzugehören; in diesem Falle müssen die 

 Gleichungen (13) mit der Gleichung: 



kl cos }<-\-k'^ cos fi + C cos v = (31) 



coincidiren, in so ferne X, (x, v die Richtungswinkel von L und L' betreffen, weil in diesem Falle 

 L" die Richtung der Rotatioiisaxe vorstellt, und mit den durch L und L' angedeuteten Richtun- 

 gen rechte Winkel einschliessen soll. 



