﻿über die Fl'äclien zweiter Ordnung etc. 101 



Die Gleichungen (36) bestätigen, dass die in (34) niedergelegten Kriterien die nothwen- 

 digen und hinreichenden Bedingungen ausmachen, deren Erfüllung zwei gleiche Wurzeln 

 5 = 5l'= 33'= ß-' in der kubischen Gleichung (15) oder (17) hervorruft. Die Coi'ncidenz- 

 gleichung (37) sagt aus, dass die den gleichen s entsprechenden Cardinalrichtungen so 

 beschaffen sein müssen, dass alle zur Ebene: 



^^^lA + 33i&iM + ^'f^lA = (38) 



eine parallele Lage einnehmen. Selbstverständlich ist die Rotationsaxe auf der Ebene (38) 

 senkrecht. 



Sollen von den Wurzeln 5, «', *" zwei, etwa s und 5' Nullwerthe erhalten, denke man sich 

 zum Behufe der Entwicklung des zugehörigen Kriteriums die vorgelegte Gleichung auf ein 

 eonjugirtes orthogonales Axensystem bereits transformirt; in der Transformationsgleichung 

 werden nun wegen s = 5'= die Glieder sx^ und ^if fehlen, und der im §. 1 geführten 

 Untersuchung zufolge, die Erfüllung der Relationen: 



Ci = 02 = a3 = @i = iSo=©3= (39) 



beanspruchen. 



In Folge (39) erhalten in der Gleichung (15) die Coeffizienten P und iV Nullwerthe, 

 und besagen, dass s = als eine doppelte Wurzel der Gleichung (15) oder (17) angehört. 



Diese mit Nullwerthen begabten zwei Wurzeln deuten in Folge ihrer Gleichheit auf eine 

 Rotationsfläche. Dies stimmt mit der im §, 2 niedergelegten Anschauungsweise überein, ver- 

 möge welcher wir den parabolischen Cylinder als durch Rotation einer unendlich lang- 

 gestreckten Ellipse erklärt haben. 



Wir haben die letztgeführte Untersuchung über die Eigenschaften der Wurzeln der 

 kubischen Gleichung auf die Bildung des ersten Differentialquotienten gestützt. Wir können 

 aber alle diese Resultate ohne Hilfe der Differentiation auf eine bald zu bildende Elimina- 

 tionsgleichung in s anlehnen, die wir aus den Gleichungen (13) auf Grund der Relation: 



SlÄ©i = 5l,33A (40) 



in folgender Weise entwickeln : 



Addiren wir zu den drei Gleichungen in (13) beziehungsweise die Ausdrücke: 



cosA— , cosfx— , cosv— , (41) 



mit dem positiven und negativen Zeichen hinzu, und erthe^^en den Buchstaben 51' 35' (£' die 

 in (33) ausgeprägte Bedeutung, so erhalten wir aus (13) folgende Gleichungen: 



{s — 51') cos \ = -^ cos k -f 5I2 cos (i -I- 5li cos V = ^ 



-02 



(s — 33 ) cos ft = -^ cos (1 -j- 332 cos V + 33i cos X = q — C42) 



(S ©') cos V = -^ cos V + (E2 C( s X 4- ©j cos (Jl = ^ y , 



hieraus : 



51,93. g%^, ^23,e, ., ^6,51, 



