﻿über die Flächen zweiter Ordnung etc. 103 



eonjugirten Axensystems für den vorgelegten Zweck nicht ausreicht, ein orthogonales conju- 

 girtes Axensystem ausfindig zu machen, und die zugehörige einfachste Gleichungsform des in 

 der vorgelegten Gleichung ausgeprägten Gebildes aufzustellen. 



Auf Grund der in (15) aufgestellten kubischen Gleichung wird es uns möglich sein, einige 

 sehr einfache Relationen aufzustellen, in denen namentlich für Mittelpunktsflächen überraschend 

 einfache Gesetze sich ausprägen, denen die Parameter dieser Gebilde zu entsprechen haben, 

 mögen sie sonst einem beliebigen eonjugirten Axensysteme entlehnt worden sein. Die Mittel- 

 punktsflächen bieten in Bezug auf die unzählig vielen möglichen eonjugirten Axensysteme 

 folgende Gleichungsformen: 



i?ia^' + S'i/ + ''iS'=l («1, ßirTi) 



lpt^^-\-q^if-Vr<,z'=\ («25^25 72) 



2^3a?' + M' + ^3s'=l («3, ßs. Ts) (48) 



^^^+£l^^+9t3'^=l. . . . . .[^,^,^] 



Neben jeder dieser Gleichungsformen steht die zugehörige Axenwinkelgruppe angedeutet; 



neben der letzteren ist jeder der Axenwinkel mit dem Betrage — ausgestattet, zum Zeichen, 



dass die betreffende Gleichungsform dem orthogonal eonjugirten Axensysteme angehört. 



Geht man von einer beliebigen Gleichung in (48) aus, so ist es klar, dass man aus jeder 

 derselben zur kubischen Gleichung (15) gelangen muss, deren Wurzeln offenbar durch Coeffi- 

 zienten der letzten Gleichung (48) repräsentirt werden , und die Relation : 



5 = $P; 5'=£i; s"=9t (49) 



veranlassen. 



Mag man also den Buchstaben^, §', r, a, ß, y beliebige Zeiger beilegeUj so findet man 

 nach Anleitung (16) folgende kubische Gleichung: 



Ms^ — (^ sin ^a + 2' sin ^ß + r sin ^y) s^ + {vq_ Arpr + qr) s — ^qr = 0, 

 oder 



M , fsin'cK sin^ß sinM , fl 1 n . r. /p;a\ 



— s'—\ + — *: + — ^U^+ _4-_-f-_L_i=o. (50) 



j)qr y qr j^r pq J yjj q rj 



Diese Gleichung behält stets dieselben Coeffizienten , mag man den Buchstaben j), q, r-, 

 a, ß, Y) if beliebige Zeiger beilegen; und selbst dann, wenn man p^^, q=:£i, r=9t; 



a = ß = Y = -^, M=l setzt. 



Im letzteren Falle erhält man: 



Und aus der Vergleichung von (50) mit (51): 



