﻿104 Lorenz Zmurko. 



1.1 1 1 1 1 



1 = — -1 1 • 



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sin^a sin^ß sin "^7 111 



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Denkt man sich die Längen ± {/i; ± |/i; ± |/l; ± |/l; ± |/l; ± |/^ 



vom Ursprünge aus auf den zugehörigen conjugirten Axen abgeschnitten, so erhält man sechs 

 Punkte, von denen nur diejenigen Paare gleichzeitig auch der Mittelpunktsfläche angehören, 

 welche durch Ausdrücke mit positiver Zahl unter dem Wurzelzeichen gegeben sind. Diese 

 sechs Axensegmente heissen Halbaxen der betreffenden Mittel punktsfläche. — Je nach Beschaf- 

 fenheit der vorliegenden Fläche werden die quadrirten Halbaxen entweder sammtlich positiv 

 ausfallen (Ellipsoid) oder es ergeben sich unter denselben eines oder zwei Paare negativ 

 (ungetheiltes oder getheiltes Hyperboloid). 



Wenn wir die Bedeutung der quadrirten Halbaxen in diesem Sinne auffassen, so können 

 wir die in (52) niedergelegten Resultate in folgender Weise ausdrücken: 



1. Wenn man in jeder der conjugirten Coordinatenebenen aus den in 

 derselben vorkommenden Halbaxensegmenten ein Parallelogramm bildet, 

 die diesen Parallelogrammen zukommenden Flächeninhalte quadrirt, mit 

 gehörigen Vorzeichen versieht, und durch Addition verbindet, so erhält 

 man bei jedem conjugirten Axensysteme stets eine und dieselbe Summe. 



2. Je drei einem beliebigen Axensysteme zukommenden Halbaxen geben 

 eine constante aus ihren Quadraten gebaute Summe. 



3. Ein aus den conjugirten Axensegmenten gebautes Prisma liefert bei 

 beliebigen conjugirten Axensystemen einen constanten Körperinhalt. 



Die Kegelfläche, deren Halbaxen Nullwerthe annahmen, leistet selbstverständlich den 

 hier ausgesprochenen Gesetzen Genüge. 



Flächen zweiter Ordnung in Bezug auf die berührenden Ebenen, Normalen, und in 



Bezug auf den BerührungskegeL 



Die im §. 1 unter (6) angeführte Gleichung: 



(1) sr^-ir2tr + u^ = 



war in Bezug auf den Umstand, dass wir den Standpunkt (8, yj, C) in die Sehnenmittelpunkte 

 versetzten, die Quelle aller der Untersuchungen und Resultate, welche den Inhalt der vorher- 

 gehenden Paragraphe bilden. 



Eine anderweitige zweckmässige Verfügung über die Wahl des Standpunktes (8, vj, C) und 

 der Sehnenrichtungen wird uns vielfache Anhaltspunkte gewähren, um aus der Gleichung (1) 

 die weitere Belehrung über die allgemeinen Eigenschaften der Flächen zweiter Ordnung in 

 ausgiebiger Weise zu schöpfen. 



